1T 2012 høst LØSNING

DEL EN

Oppgave 1

$a=-2$ og punkt. $(3,0)$

$$\begin{gathered} 0=-2\cdot 3+b \\ b=6 \end{gathered}$$

dvs:

$y=-2x+6$

Oppgave 2

$$\begin{gathered} lg(2x+3)=1 \\ {10}^{lg(2x+3)}={10}^1 \\ 2x+3=10 \\ x=\frac{7}{2} \end{gathered}$$

Oppgave 3

$\frac{(2x{)}^3{x}^2}{2^5{x}^{-1}}=2^{3-5}{x}^{3+2+1}=\frac{x^6}{4}$

Oppgave 4

$\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}=\frac{(x+3)(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{x+3}{x-3}$

Oppgave 5

$(\sqrt{2}+\sqrt{8}{)}^2=2+2\sqrt{2}\sqrt{8}+8=18$

Oppgave 6

a)

Nullpunkter:

f(x) = 0

$$\begin{gathered} x^2+2x-3=0 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{4+4\cdot 3}}{2} \\ x=-3\vee x=1 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=2x+2 \\ {f}^{\prime }(x)=0 \\ x=-1 \\ f(-1)=-4 \end{gathered}$$

f har et ekstremalpunkt i (-1,-4). Dette er et minimumspunkt da den deriverte er negativ for verdier mindre enn -1, og positiv for større verdier.

c)

Oppgave 7

$$\begin{gathered} (x+5)(x+3)-(x+5)(2x+7)=0 \\ (x+5)(x+3-2x-7)=0 \\ (x+5)=0\vee -x-4=0 \\ x=-5\vee x=-4 \end{gathered}$$

Oppgave 8

a)

	Bio	$\overline{Bio}$	Sum
Fys	$5$	$7$	$12$
$\overline{Fys}$	$9$	$4$	$13$
Sum	$14$	$11$	$25$

b)

$P(fysogbio)=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$

c)

$P(fys|bio)=\frac{5}{14}$

Oppgave 9

a)

$$\begin{gathered} SinA=\frac{12}{13} \\ CosA=\frac{5}{12} \end{gathered}$$

b)

$(SinA{)}^2+(CosA{)}^2=(\frac{12}{13}{)}^2+(\frac{5}{13}{)}^2=\frac{144+25}{169}=1$

c)

$$\begin{gathered} a^2+c^2=b^2 \\ \frac{a^2+c^2}{b^2}=1 \\ \frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{b^2}=1 \\ (\frac{a}{b}{)}^2+(\frac{c}{b}{)}^2=1 \\ \frac{a}{b}=SinA\wedge \frac{c}{b}=CosA \\ (SinA{)}^2+(CosA{)}^2=1 \end{gathered}$$

Oppgave 10

$$\begin{gathered} x^2+x^2=16 \\ x=\sqrt{8} \end{gathered}$$

Sidene i kvadratet har lengden kvadratroten av åtte.

Areal kvadrat = 8

Areal sirkel =$\pi r^2=\pi (\frac{\sqrt{8}}{2}{)}^2=2\pi$

Areal av skravert område blir: areal kvadrat - areal sirkel = $8-2\pi$

DEL TO

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} \\ \frac{1}{R}=\frac{1}{5}+\frac{1}{7} \\ \frac{1}{R}=\frac{7}{35}+\frac{5}{35} \\ \frac{1}{R}=\frac{12}{35} \\ 12R=35 \\ R=\frac{35}{12} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} R_2=2R_1 \\ \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{2R_1} \\ \frac{1}{R}=\frac{2}{2R_1}+\frac{1}{R_1} \\ \frac{1}{R}=\frac{3}{2R_1} \\ 3R=2R_1 \\ R=\frac{2}{3}{R}_1 \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

b)

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=3x^2-4x-5 \\ {f}^{\prime }(1)=3-4-5=-6 \\ f(1)=1-2-5+6=0 \\ 0=-6\cdot 1+b \\ b=6 \\ y=-6x+6 \end{gathered}$$

c)

<Math>f'(x) = 3x^2-4x-5 \ f'(x) =2 \ \Downarrow \ 3x^2-4x-5=2 \ 3x^2 -4x - 7 =0 \ x=-1 \vee x = \frac 73 </Math>

<Math>f(-1)=8 \wedge f( \frac73) = - \frac{104}{27}</Math>

Tangeringspunkter det tangenten har stigning to blir da:

<Math>(-1,8) \wedge (\frac 73, - \frac{104}{27})</Math>

Likningene blir da: <Math>y = ax+b \ 8=-2+b \ b =10 \ y = 2x+10 </Math> og tilsvarende for det andre punktet <Math>- \frac{104}{27} = \frac{2 \cdot 7}{3} + b \ b= - \frac{230}{27} \ y =2x- \frac{230}{27}</Math>

Bruker Geogebra:

(punktene A og B har ingen ting med saken å gjøre, er bare tangeringens x koordinater.)

a)

$$\begin{gathered} Cos\alpha =\frac{4}{11} \\ \alpha =68,7^{\circ } \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} h^2={11}^2-4^2 \\ h=\sqrt{105}\approx 10,2 \end{gathered}$$

a)

Sannsynlighet for å betale med kort P(kort) = 0,6

Sannsynligheten for at de 10 første kundene betaler med kort:

$P=0,6^{10}=0,006=0,6$

b)

Sannsynligheten for at 10 av de første 20 bilene betaler med kort.

Sannsynligheten er 11,7%

c)

Sannsynligheten for at mer enn 25 av de 50 første bilene betaler med kort:

Sannsynligheten er 90,2%

a)

Velger 6 og 7.

$$\begin{gathered} 6+7+6^2=49 \\ {7}^2=49 \end{gathered}$$

Dette ser jo lovende ut..

b)

$$\begin{gathered} n+(n+1)+n^2=(n+1{)}^2 \\ {n}^2+2n+1=(n+1{)}^2 \\ (n+1{)}^2=(n+1{)}^2 \end{gathered}$$

a)

$$\begin{gathered} (8-x{)}^2=x^2+25 \\ 64-16x+x^2=x^2+25 \\ -16x=-39 \\ x=2,4 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} a^2=b^2+c^2-2bccosA \\ {x}^2=25+64-16x+x^2-2\cdot 5\cdot (8-x)cos{30}^{\circ } \\ 7,33x=19,7 \\ x=2,7 \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} \frac{SinE}{5,3}=\frac{Sin{30}^{\circ }}{2,7} \\ E={79}^{\circ } \end{gathered}$$

a)

<Math>4x+h=30 \h = 30-4x \ setter \quad h=0 \ x= \frac{30}{4} \ x= 7,5 </Math>

dvs.

<Math>0 < x <7,5</Math>

b)

$$\begin{gathered} O(x)=x^2+4x(30-4x) \\ O(x)=x^2+120x-16x^2 \\ O(x)=-15x^2+120x \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} O^{\prime }(x)=-30x+120 \\ {O}^{\prime }(x)=0 \\ \Downarrow \\ -30x+120=0 \\ x=4 \end{gathered}$$

Fire desimeter gir den største overflanten. Da er overflaten:

$O(4)=-15\cdot 4^2+120\cdot 4=240$

Da er overflaten 240 kvadratdesimeter.