Initialbetingelser: Forskjell mellom sideversjoner

Siste sideversjon per 1. mai 2013 kl. 01:56

En initialbetingelse(også kalt startbetingelse) for en differensialligning er en føring som pålegges løsningen i "startøyeblikket" og som bestemmer verdiene til alle ukjente konstanter som opptrer naturlig i løsningen.

Initialverdiproblem

Et initialverdiproblem er en differensialligning med tilhørende initialbetingelser. Dersom $f (x)$ er den ukjente funksjonen i diff.ligningen vil typiske initialbetingelser være på formen $f (0) = α$ og $f^{'} (0) = β$ etc. for gitte konstanter.

Eksempel

La oss se på initialverdiproblemet $f^{'} (x) = f (x)$ med initialbetingelsen $f (0) = 10$ . Løsningen av ligningen er $f (x) = c e^{x}$ . Dersom denne skal passe med initialbetingelsen må $f (0) = c e^{0} = c = 10$ . Løsningen på initialverdiproblemet blir derfor $f (x) = 10 e^{x}$ .

@@ Linje 9: / Linje 9: @@
 <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
-'''Eksempel'''
+'''Eksempel''' <p></p>
-:La oss se på initialverdiproblemet  $f^{'} (x) = f (x)$  med initialbetingelsen  $f (0) = 10$ . Løsningen av ligningen er  $f (x) = c e^{x}$ . Dersom denne skal passe med initialbetingelsen må  $f (0) = c e^{0} = c = 10$ . Løsningen på initialverdiproblemet blir derfor  $f (x) = 10 e^{x}$ .
+La oss se på initialverdiproblemet  $f^{'} (x) = f (x)$  med initialbetingelsen  $f (0) = 10$ . Løsningen av ligningen er  $f (x) = c e^{x}$ . Dersom denne skal passe med initialbetingelsen må  $f (0) = c e^{0} = c = 10$ . Løsningen på initialverdiproblemet blir derfor  $f (x) = 10 e^{x}$ .
 </blockquote>