S1 eksempeloppgave 2015 vår LØSNING

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} f(x)=3x^2-4x+2 \\ f´(x)=6x-4 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=3x^3-3 \\ g´(x)=9x^2 \\ g´(2)=9\cdot 4=36 \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

$\frac{2^{-1}\cdot a\cdot b^{-1}}{4^{-1}\cdot a^{-2}\cdot b^2}=\frac{4a^3}{2b^3}=2(\frac{a}{b}{)}^3$

b)

$lg(a^{2}b)+lg(a{b}^2)+lb(\frac{a}{b^3})=2lga+lgb+lga+2lgb+lga-3lgb=4lga$

c)

$\frac{3a^2-75}{6a+30}=\frac{3(a+5)(a-5)}{6(a+5)}=\frac{a-5}{2}$

Oppgave 3

a)

$$\begin{gathered} \frac{{61}^2-{39}^2}{{51}^2-{49}^2}= \\ \frac{(61+39)(61-39)}{(51+49)(51-49)}= \\ \frac{100\cdot 22}{100\cdot 2}=11 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} 1997\cdot 2003-1993\cdot 2007= \\ (2000-3)(2000+3)-(2000-7)(2000+7) \\ {2000}^2-3^2-{2000}^2+7^2 \\ -9+49=40 \end{gathered}$$

Oppgave 4

$$\begin{gathered} f(x)=g(x) \\ {x}^2-x-2=x+1 \\ {x}^2-2x-3=0 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2} \\ x=-1\vee x=3 \\ g(-1)=0\wedge g(3)=4 \end{gathered}$$

Skjæringspunktene mellom f og g er (-1, 0) og (3,4)

Oppgave 5

a)

$$\begin{gathered} 3x^2=18-3x \\ 3x^2+3x-18=0 \\ {x}^2+x-6=0 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2} \\ x=\frac{-1\pm 5}{2} \\ x=-3\vee x=2 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} 3\cdot 2^x=24 \\ {2}^x=8 \\ {2}^x=2^3 \\ x=3 \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} 3^8+3^8+3^8+3^8+3^8+3^8+3^8+3^8+3^8=3^x \\ 9\cdot 3^8=3^x \\ {3}^{10}=3^x \\ 10lg3=xlg3 \\ x=10 \end{gathered}$$

Oppgave 6

a)

$$\begin{gathered} y=a\cdot b^x \\ {b}^x=\frac{y}{a} \\ xlgb=lg(\frac{y}{a}) \\ x=\frac{lg(\frac{y}{a})}{lgb} \end{gathered}$$

Oppgave 7

a)

$$\begin{gathered} f(x)=x^3-6x^2+9x \\ {f}^{\prime }(x)=3x^2-12x+9 \end{gathered}$$

Oppgave 8

$$\begin{gathered} f(x)=x^2+2x{D}_f=\text{R} \\ f´(x)=2x+2 \end{gathered}$$

Vi skal bruke definisjonen på den deriverte til å vise dette:

$$\begin{gathered} f´(x)=li{m}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x} \\ =li{m}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2+2(x+\mathrm{\Delta }x)-x^2-2x}{\mathrm{\Delta }x} \\ =li{m}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{x^2+2x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2+2x+2\mathrm{\Delta }x-x^2-2x}{\mathrm{\Delta }x} \\ =li{m}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{\mathrm{\Delta }x(2x+\mathrm{\Delta }x+2)}{\mathrm{\Delta }x} \\ =li{m}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}2x+\mathrm{\Delta }x+2 \\ =2x+2 \end{gathered}$$

Oppgave 9

1) Riktig, fordi x= -2 er en løsning av likningen.

2) Riktig, fordi dersom x=-2 så er likningen riktig.

3) Feil. Likningen har også løsning x = -3.

Oppgave 10

TREKANTTALL

a)

n	$a_n$	$a_n$	$s_n$	$s_n$
1	1	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})$	1	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})$
2	3	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})$	4	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})$
3	6	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})$	10	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})$
4	10	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})$	20	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})$
5	15	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})$	35	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3})$

b)

$$\begin{gathered} a_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}) \\ {S}_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3}) \end{gathered}$$

Oppgave 3

a)

Sannsynligheten er den samme i alle delforsøk.

To alternativer, rett eller ikke rett.

Delforsøkene er uavhengige av hverandre.

b)

c)

Oppgave 4

b)

$F(x,y)=74x+106y$

Utsalgsprisen for pukk er 106 kroner per tonn.

c)

For å få størst mulig inntekter bør han selge 423,5 tonn grus og 1000 tonn pukk. Inntekten blir da $F(423,5,1000)=74\cdot 423,5+106\cdot 1000=137339$ kroner.

Oppgave 5

a)

Sidene i boksens grunnflate blir a-2x- Arealet av grunnflaten blir da $(a-2x{)}^2$ . Multipliserer vi arealet av grunnflaten med høyden av esken, som er x får vi:

$a>0\wedge x<\frac{a}{2}$

$V(x)=(a-2x{)}^2\cdot x$

b)

$$\begin{gathered} V(x)=(a-2x{)}^2\cdot x \\ V(x)=(a^2-4ax+4x^2)\cdot x \\ V(x)=4x^3-4a{x}^2+a^{2}x \\ {V}^{\prime }(x)=12x^2-8ax+a^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} V^{\prime }(x)=0 \\ 12x^2-8ax+a^2=0 \\ x=\frac{8a\pm \sqrt{64a^2-4\cdot 12\cdot a^2}}{24} \\ x=\frac{8a\pm \sqrt{16a^2}}{24} \\ x=\frac{8a\pm 4a}{24} \\ x=\frac{a}{2}\vee \end{gathered}$$

Oppgave 6

$$\begin{gathered} f(x)=a{x}^3-bx-2 \\ {f}^{\prime }(x)=3a{x}^2-b \\ 0=12a-b \\ 2=3a-b \end{gathered}$$

De to siste linjene benytter informasjonen om den deriverte i x = 2 og x = 1.

$$\begin{gathered} f^{\prime }(2)=0 \\ 0=12a-b \\ {f}^{\prime }(1)=2 \\ 2=3a-b \end{gathered}$$

Løser likningsettet: $$\begin{gathered} b=12a \\ 2=3a-12a \\ a=-\frac{2}{9} \\ b=-\frac{24}{9} \end{gathered}$$

Funksjonen blir da:

$f(x)=-\frac{2}{9}{x}^3+\frac{24}{9}x-2$