S2 eksempeloppgave 2015 vår LØSNING

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} f(x)=3x^3-2x+5 \\ {f}^{\prime }(x)=3\cdot 3x^2-2=9x^2-2 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=x{e}^{2x} \\ {g}^{\prime }(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2e^{2x}=(1+2x)e^{2x} \end{gathered}$$

Oppgave 2

Bestem $h^{\prime }(2)$ når $h(x)=\frac{e^x}{x-1}$

$$\begin{gathered} h^{\prime }(x)=\frac{e^x\cdot (x-1)-e^x\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{x{e}^x-e^x-e^x}{(x-1{)}^2}=\frac{x{e}^x-2e^x}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-2)e^x}{(x-1{)}^2} \\ {h}^{\prime }(2)=\frac{(2-2)e^2}{(2-1{)}^2}=\frac{0\cdot e^2}{1}=0 \end{gathered}$$

Oppgave 3

$P(x)=2x^3-6x^2-8x+24$

a)

$$\begin{gathered} P(3)=2\cdot 3^3-6\cdot 3^2-8\cdot 3+24 \\ =2\cdot 27-6\cdot 9-24+24 \\ =54-54-24+24=0 \end{gathered}$$

b)

Vi har vist at $P(x)=0$ for $x=3$. Då seier nullpunktsetninga at polynomdivisjonen $P(x):(x-3)$ går opp.

$(2x^3-6x^2-8x+24):(x-3)=2x^2-8$

Faktoriserer $2x^2-8$:

$2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)$

$P(x)=(2x^2-8)(x-3)=2(x-2)(x+2)(x-3)$

c)

$\frac{2x^3-6x^2-8x+24}{2x^2-8}=\frac{2(x-2)(x+2)(x-3)}{2(x-2)(x+2)}=(x-3)$

Oppgave 4

a)

(Sett inn tabell)

Formel for $S_n$:

$S_n=n^3$

b)

$S_n$ er summen av dei $n$ første ledda

$S_n=a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n$

$S_{n-1}$ er summen av dei $(n-1)$ første ledda:

$S_{n-1}=a_1+a_2+...+a_{n-1}$

Vi får at: $$\begin{gathered} S_n=S_{n-1}+a_n \\ {a}_n=S_n-S_{n-1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} a_n=S_n-S_{n-1} \\ {a}_n=n^3-(n-1{)}^3 \\ =n^3-(n-1)(n-1{)}^2 \\ =n^3-(n-1)(n^2-2n+1) \\ =n^3-n^3+2n^2-n+n^2-2n+1 \\ =3n^2-3n+1 \end{gathered}$$

Oppgave 5

$f(x)=x^3-4x^2+4x,x\in 〈-1,4〉$

a)

Nullpunkt:

$$\begin{gathered} f(x)=0 \\ {x}^3-4x^2+4x=0 \\ x(x^2-4x+4)=0 \\ x=0\vee x^2-4x+4=0 \\ x=0\vee (x-2{)}^2=0 \\ x=0\vee x=2 \end{gathered}$$

Nullpunktene er $x=0$ og $x=2$.

Topp-/bunnpunkt:

$f^{\prime }(x)=3x^2-8x+4$

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=0 \\ 3x^2-8x+4=0 \\ x=\frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8{)}^2-4\cdot 3\cdot 4}}{2\cdot 3}=\frac{8\pm \sqrt{64-48}}{6}=\frac{8\pm \sqrt{16}}{6}=\frac{8\pm 4}{6} \\ x=2\vee x=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$3x^2-8x+4=3(x-2)(x-\frac{2}{3})$

(Sett inn fortegnslinje)

$$\begin{gathered} f(2)=0 \\ f(\frac{2}{3})=\frac{32}{27} \end{gathered}$$

Toppunktet er $(\frac{2}{3},\frac{32}{27})$ . Bunnpunktet er $(2,0)$.

Oppgave 6

$f(0)=300,f^{\prime }(10)=0$ og $f^{″}(10)=-10$

Ved starten av utbruddet, når $t=0$ er spruter det ut 300 tonn lava per time.

Etter 10 timer er veksten lik 0. Fordi den andrederiverte er negativ for $t=10$, vet vi at dette må være et toppunkt. Etter 10 timer er mengden lava per time størst.

Mengden lava per time øker fram til det har gått 10 timer, for deretter å avta.