S2 eksempeloppgave 2015 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Maavan (diskusjon | bidrag)
Maavan (diskusjon | bidrag)
Linje 122: Linje 122:


===b)===
===b)===
[[File:S2-V15-eksempel-Del1-Oppg5b.png]]


==Oppgave 6==
==Oppgave 6==

Sideversjonen fra 24. apr. 2015 kl. 07:18

DEL 1 (3 timer)

Oppgave 1

a)

f(x)=3x32x+5f(x)=33x22=9x22

b)

g(x)=xe2xg(x)=1e2x+x2e2x=(1+2x)e2x

Oppgave 2

Bestem h(2) når h(x)=exx1

h(x)=ex(x1)ex1(x1)2=xexexex(x1)2=xex2ex(x1)2=(x2)ex(x1)2h(2)=(22)e2(21)2=0e21=0

Oppgave 3

P(x)=2x36x28x+24

a)

P(3)=23363283+24=2276924+24=545424+24=0

b)

Vi har vist at P(x)=0 for x=3. Då seier nullpunktsetninga at polynomdivisjonen P(x):(x3) går opp.

(2x36x28x+24):(x3)=2x28

Faktoriserer 2x28:

2x28=2(x24)=2(x2)(x+2)

P(x)=(2x28)(x3)=2(x2)(x+2)(x3)

c)

2x36x28x+242x28=2(x2)(x+2)(x3)2(x2)(x+2)=(x3)

Oppgave 4

a)

n an Sn Sn
1 1 1 13
2 7 8 23
3 19 27 33
4 37 64 43
5 61 125 53
6 91 216 63

Formel for Sn:

Sn=n3

b)

Sn er summen av dei n første ledda

Sn=a1+a2+...+an1+an

Sn1 er summen av dei (n1) første ledda:

Sn1=a1+a2+...+an1

Vi får at: Sn=Sn1+anan=SnSn1

an=SnSn1an=n3(n1)3=n3(n1)(n1)2=n3(n1)(n22n+1)=n3n3+2n2n+n22n+1=3n23n+1

Oppgave 5

f(x)=x34x2+4x, x1,4

a)

Nullpunkt:

f(x)=0x34x2+4x=0x(x24x+4)=0x=0x24x+4=0x=0(x2)2=0x=0x=2

Nullpunktene er x=0 og x=2.

Topp-/bunnpunkt:

f(x)=3x28x+4

f(x)=03x28x+4=0x=(8)±(8)243423=8±64486=8±166=8±46x=2x=23

3x28x+4=3(x2)(x23)

(Sett inn fortegnslinje)

f(2)=0f(23)=3227

Toppunktet er (23,3227) . Bunnpunktet er (2,0).

b)

Oppgave 6

f(0)=300, f(10)=0 og f(10)=10

Ved starten av utbruddet, når t=0 er spruter det ut 300 tonn lava per time.

Etter 10 timer er veksten lik 0. Fordi den andrederiverte er negativ for t=10, vet vi at dette må være et toppunkt. Etter 10 timer er mengden lava per time størst.

Mengden lava per time øker fram til det har gått 10 timer, for deretter å avta.

Oppgave 7

Overskudd er inntekter minus kostnader.

O(x)=I(x)K(x)

Overskuddet er størst når O(x)=0 (Toppunktet på grafen til O(x))

Vi deriverer og får: O(x)=I(x)K(x)

O(x)=0I(x)K(x)=0I(x)=K(x)

Når grensekostnaden er lik grenseinntekta er overskuddet størst.

Oppgave 8

a)

x=95 gir

z=xμσ=9510015=515=130,33

P(X95)=P(Z0,33)=0,3707

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person vil skåre mindre enn 95 poeng, er ca. 37 %.

b)

Vi skal finne den z-verdien, som gjør at sannsynligheten P(Zz)=0,02.

Det er det samme som at P(Zz)=0,98. I tabellen for standard normalfordeling finner vi at det er z=2,05.

Vi kan nå regne om og finne x.

z=xμσ2,05=x1001530,75=x100x=130,75

Du må minst skåre 131 poeng for å kunne bli medlem av Mensa.

Oppgave 9

Tabellen gir følgende likningssystem:

3x+2y+4z=1202x+3y+2z=752x+5y+3z=105

Løsning: x=10,y=5 og z=20

Oppgave 10

a)

Rekken er geometrisk fordi forholdet mellom et ledd og leddet foran er konstant med k=29.

Rekken konvergerer, fordi 1<k<1.

Summen blir:

S=a11k=7129=779=9

b)

Summen av ballen sine høyder kan vi skrive slik:

10+2310+232310+...

Vi kan se på dette som en geometrisk rekke med

a1=10 og k=23.

Rekken er konvergent, fordi 1<k<1.

Da blir s=a11k=10123=1013=30

Ballen skal opp og ned, bortsett fra for den første høyden. (Den blir sleppt fra 10 m.)

Den totale lengden blir derfor: 230 m 10 m =50 m.

Oppgave 11

f(x)=(x1)ex,x3,2

a)

Skjæring med y-aksen:

f(0)=(01)e0=11=1

Skjæring med x-aksen:

f(x)=0(x1)ex=0x1=0x=1

Koordinatene til skjæringspunktene er (0,1) og (1,0).

b)

f(x)=1ex+(x1)ex=(1+x1)ex=xex

f(x)=0xex=0x=0

(Lager fortegnslinje.)

Grafen til f har et bunnpunkt i (0,1).

c)

Grafen synker raskest når f(x)=0.

f(x)=1ex+xex=(1+x)ex

f(x)=0(1+x)ex=01+x=0x=1

(Lager fortegnslinje.)

f(1)=(11)e1=2e1=2e

Grafen til f synker raskest i punktet (1,2e).

Del 2 (2 timer)

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Oppgave 6