S2 2015 høst LØSNING

a)

$$\begin{gathered} f(x)=x^3+2x \\ {f}^{\prime }(x)=3x^2+2 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=3e^{2x-1} \\ {g}^{\prime }(x)=3e^{2x-1}\cdot (2x-1{)}^{\prime }=6e^{2x-1} \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} h(x)=x^2\cdot e^x \\ {h}^{\prime }(x)=2x{e}^x+x^2{e}^x=x{e}^x(2+x) \end{gathered}$$

a)

$$\begin{gathered} f(x)=x^3+3x^2-9x \\ {f}^{\prime }(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x-1)(x+3) \end{gathered}$$

Alternativt kan $f^{\prime }(x)$ faktoriseres med ABC-formelen

Toppunkt: $T=(-3,f(-3))=(-3,-27+27+27)=(-3,27)$

Bunnpunkt: $B=(1,f(1))=(1,1+3-9)=(1,-5)$

b)

$f^{″}(x)=6x+6=6(x+1)$

$6(x+1)=0$

$x=-1$

Vendepunkt: $V=(-1,f(-1))=(-1,-1+3+9)=(-1,11)$

c)

Utifra nullpunkter, ekstremalpunkter, vendepunkt og fortegnslinja til $f^{\prime }(x)$ skal man kunne klare å lage en god skisse.

a)

$x^3-a{x}^2+2ax-8$ er alltid delelig med $(x-2)$ siden $2^3-2^{2}a+4a-8=0$

b)

Forkorter nevneren først ved polynomdivisjon.