S2 2015 høst LØSNING

a)

$$\begin{gathered} f(x)=x^3+2x \\ {f}^{\prime }(x)=3x^2+2 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=3e^{2x-1} \\ {g}^{\prime }(x)=3e^{2x-1}\cdot (2x-1{)}^{\prime }=6e^{2x-1} \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} h(x)=x^2\cdot e^x \\ {h}^{\prime }(x)=2x{e}^x+x^2{e}^x=x{e}^x(2+x) \end{gathered}$$

a)

$$\begin{gathered} f(x)=x^3+3x^2-9x \\ {f}^{\prime }(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x-1)(x+3) \end{gathered}$$

Alternativt kan $f^{\prime }(x)$ faktoriseres med ABC-formelen

Toppunkt: $T=(-3,f(-3))=(-3,-27+27+27)=(-3,27)$

Bunnpunkt: $B=(1,f(1))=(1,1+3-9)=(1,-5)$

b)

$f^{″}(x)=6x+6=6(x+1)$

$6(x+1)=0$

$x=-1$

Vendepunkt: $V=(-1,f(-1))=(-1,-1+3+9)=(-1,11)$

c)

Utifra nullpunkter, ekstremalpunkter, vendepunkt og fortegnslinja til $f^{\prime }(x)$ skal man kunne klare å lage en god skisse.

a)

$x^3-a{x}^2+2ax-8$ er alltid delelig med $(x-2)$ siden $2^3-2^{2}a+4a-8=0$

b)

Forkorter med polynomdivisjon.

Oppgave 4

$$\begin{gathered} (1);x+2y-z=2 \\ (2);2x-y+z=3 \\ (3);3x-2y+2z=2 \end{gathered}$$

Her kan man bruke innsetingsmetoden eller adderingsmetoden. Jeg bruker adderingsmetoden. Fra $(1)$ og $(2)$.

$(4);(x+2y-z)+(2x-y+z)=3x+y=5$

Fra $(2)$ og $(3)$.

$-2(2x-y+z)+(3x-2y+2z)=-x=-2\cdot 3+2=-4$

$x=4$

Fra (4). $y=5-3\cdot 4=-7$

Fra (1). $z=x+2y-2=4+2\cdot -7-2=-12$

$x=4,y=-7,z=-12$

a)

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n-1}}$

Dette er en geometrisk rekke siden den følger mønsteret $a_n=(\frac{1}{2}{)}^{n-1}$

b)

$S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n-1}}$

$S_n=\frac{a_1}{1-k}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$

a)

$$\begin{gathered} a_n=n^3+1 \\ {a}_1=2 \\ {a}_2=9 \\ {a}_3=28 \\ {a}_4=65 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \frac{a_1}{2}=1 \\ \frac{a_2}{3}=3 \\ \frac{a_3}{4}=7 \\ \frac{a_4}{5}=13 \end{gathered}$$

c)

$\frac{a_n}{n+1}=\frac{n^3+1}{n+1}=\frac{(n+1)(n^2-n+1)}{n+1}=n^2-n+1$

Alternativt kan du si at $(n+1)$ er en av faktorene til $n^3+1$ siden $(-1{)}^3+1=0$