S1 2015 høst LØSNING

Oppgave 1

a)

$2x^2-3x=0 \\x(2x-3)= 0 \\ x=0 \vee x = \frac 32$

b)

$2^{3x+1} = 4^{17} \\ 2^{3x+1} = 2^{34} \\ 3x+1 = 34 \\ x = 11$

c)

$lg(2x+2) = 3 + lg2 \\ lg(2x+2) = lg(1000\cdot 2) \\ 2x= 1998 \\ x= 999$

Oppgave 2

a)

$\frac{8a^3(a^{-1}b)^2}{(2ab)^2}= \\ \frac{2^3a^3a^{-2}b^2}{2^2a^2b^2} = \\ 2^{3-2}a^{3-2-2}b^{2-2} = \\ 2a^{-1} = \\ \frac2a$

b)

$(x+y)(x-y) + (y+x) (y-x) - (x+y)(x-y)= \\ y^2-x^2$

Oppgave 3

<math> \left[ \begin{align*} 2x^2+x+y=7\\ 3x+y=-5 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*} 2x^2+x+y=7\\ y=-5 -3x \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*} 2x^2+x+(-5-3x)=7\\ y=-5 - 3x \end{align*}\right] </math>

Løser første likning og får to x verdier:

$2x^2-2x- 12 =0 \\ x= \frac{2 \pm \sqrt{4+96}}{4} \\ x=-2 \vee x= 3$

Det gir følgende y verdier:

x =-2: y= - 5+6 =1

x = 3: y = - 14

Løsning; $(-2,1) \wedge (3, -14)$

Oppgave 4

$-3(x-2)(x+1)<0$

Fortegnsskjema:

$x \in < \leftarrow, -1 > \cup <2, \rightarrow>$

Oppgave 5

a)

$f(x)=x^3-x^2-x+3 \\ f(0)= 3 \\ f(2)= 8-4-2+3= 5$

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet blir da $\frac{f(2)-f(0)}{2} = 1$

b)

$f´(x) =3x^2-2x-1 \\ f´(0) = -1$

Siden den deriverte er negativ for x = 0, synker grafen til f.

c)

$f´(x)=0 \\ 3x^2-2x-1=0 \\ x= \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{6} \\ x= 1 \vee x= - \frac 13$

Fra b har vi at grafen synker for x = 0

X=1 gir da et minimum og x= $-\frac13$ gir maksimum.

$f(1) =1 -1 -1 +3= 2\\ f(-\frac 13)= 3,19$

Oppgave 6

a)

Skjæring med y akse:

$g(0) = -3$

Skjæring med y aksen er i -3, altså (0, -3).

Skjæring med x akse:

$g(x)= 0 \\ 2x-3 = 0 \\ x= \frac 32$,

altså $(\frac32,0)$

b)

Oppgave 7

a)

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

b)

Fra a gir det 10 mulige kombinasjoner.

c)

Colaflasken kan velges som nr 1, 2 eller 3:

$P(cola)= \frac{1}{5} \cdot 1 \cdot 1 + \frac45 \cdot \frac14 \cdot 1 + \frac 45 \cdot \frac 34 \cdot \frac 13 = \frac 35 = 60$%

Oppgave 8

a)

x er dekar gulerøtter og y dekar poteter.

$x \geq 0 \quad$ Dersom man skal dyrke gulerøtter trenger man areal.

$y \geq 0 \quad$ Det samme gjelder for poteter.

$x+y \leq 15 \quad$ Det totale området er 15 dekar. Summen av gulerot og potet areale må være mindre eller lik 15.

$5x +2,5y \leq 50 \\ 2x +y \leq 20 \quad$

Han har maksimum 50 timer å bruke på klargjøring. Det tar dobbelt så lang tid å klargjøre en dekar for gulerøtter, i forhold til poteter.

b)

c)

Fra Figuren i b ser man at han bør bruke 5 dekar på gulerøtter, og 10 dekar på poteter, Inntekten blir da 60 000 + 80 000, altså 140 000 kroner.

Laget først en tilfeldig nivålinje basert på 1200x +8000y. Denne ble så parallellforskjøvet til den ytterste begrensningen gitt av ulikhetene. Linjen går da gjennom punktet (5, 10) som er det optimale produksjonsforholdet under de gitte betingelser.

Oppgave 9

$4^x-6\cdot 2^x+8 =0 \\ (2^x)^2-6 \cdot 2^x+8=0 \\ u = 2^x \\ u^2 -6u + 8=0 \\ u= \frac{6 \pm \sqrt{36-32}}{2} \\ u=2 \vee u = 4 \\ 2^x=2 \vee 2^x= 8 \\ 2^x=2 \vee 2^x= 2^3 \\ x=1 \vee x=3 $

Oppgave 1

a)

Sannsynligheten for tre jenter og tre gutter blir trukket er 30,8%.

b)

Sannsynlighet for at begge kjønn er representert er:

P (begge kjønn) = 1 - P( bare gutter )- P(bare jenter) = 1 - 0,0012 - 0,0283 = 0,9706

Altså ca. 97%

c)

Vi har tre forskjellige grupper, "Geir", "gutter minus Geir" og "jenter". Geir skal være med, to tilfeldige gutter skal være med, og tre tilfeldige jenter skal være med:

P( Geir er med blant tre jenter og tre gutter)=$ \frac{\binom{1}{1} \binom{9}{2} \binom{15}{3}}{\binom{25}{6}} = 0,0925$

Det er ca. 9,25% sannsynlig at Geir blir med under gitte betingelser.

Oppgave 2

a)

$BMI= \frac{m}{h^2} = \frac{78}{1,77^2} = 24,9$

b)

$BMI= \frac{m}{h^2} \\ h= \sqrt{\frac{85}{28}} = 1,74$

Personen er 174 cm høy.

c)

Terje: masse = m, høyde =h

Svein: masse = (m+4), høyde = (h + 0,04)

Begge med en BMI på 28:

$28 = \frac{m}{b^2} \quad \wedge \quad 28 = \frac{(m+4)}{(h+ 0,04)^2}$

I CAS:

Terje er 1,77 meter høy, med en masse på 87,3 kilogram. Svein har en masse på 91,3 kilogram og en høyde på 1,81 meter.

Oppgave 3

a)

Den prosentvise veksten blir 4,6, i følge modellen.

b)

Lønnen i 2015 blir ca 46 500 kr, i følge modellen.

c)

Se funksjon f i figuren i a.

d)

Funksjon d viser forskjellen mellom de to modellene. I 2012 vil forskjellen være ca. 10 000 kr.

Oppgave 4

a)

Areal:

$A= x \cdot f(x) = x \cdot \frac{5}{x^2+2} = \frac{5x}{x^2+2}$

b)

Tegner grafen i Geogebra og legger et glidende punkt på den. Ser da at det er to x verdier som gir oss areal lik en:

x= 0,44 og x= 4,59 gir rektangelet arealet lik 1.

c)

Arealet blir størst når x er lik kvadratroten av to. Da er arealet $\frac{5 \cdot \sqrt{2}}{4}$.