S1 2015 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Linje 158: Linje 158:
===a)===
===a)===


Graf A kommer fra en brøkfunksjon, altså h eller g. Begge har vertikal asymptote for x = 1, så det hjelper oss ikke. Dersom vi deler alle ledd i teller og nevner på x vil vi lett se den horisontale asymptoten, når vi lar x gå mot uendelig. h har vertikalasymptote for y = 2 og g har for y =1. Det er altså h som er fremstillt i graf A.
Graf A kommer fra en brøkfunksjon, altså h eller g. Begge har vertikal asymptote for x = 1, så det hjelper oss ikke. Dersom vi deler alle ledd i teller og nevner på x vil vi lett se den horisontale asymptoten, når vi lar x gå mot uendelig. h har vertikalasymptote for y = 2 og g har for y =1. Det er altså h som er fremstilt i graf A.


===b)===
===b)===

Sideversjonen fra 17. jan. 2016 kl. 11:14

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Vurderingsskjema

Sensorveiledning

Løsning laget av matteprat-bruker LektorH


DEL EN

Oppgave 1

a)

2x26x+4=0x=6±3642422x=6±24x=1x=2

b)

2lgxlg2=lg(4x)lgx22=lg(4x)10lgx22=10lg(4x)x22=4xx2+2x8=0x=2±441(8)2x=2±62x=4x=2

Likningen inneholder lgx, så alle negative løsninger må forkastes.

Dvs. x = 2. Ved å sette prøve på svaret ser man at begge sider gir lg2.

Oppgave 2

a)

PC+CB=30=x+y Det er like langt fra B til P, om C og om A, derav første likning.

(10+x)2+400=y2 er pytagoras anvendt på trekanten ABC.

b)

[x+y=30(10+x)2+400=y2]

[x=30y(10+30y)2+400=y2]

[x=30y(160080y+y2+400=y2]

Den nederste likningen gir: 80y = 2000, dvs. y = 25

x=5y=25

Oppgave 3

a)

(a+1)22(a1)(a+1)+(a1)2=a2+2a+12(a21)+a22a+1=a2+2a+12a2+2+a22a+1=4

b)

(2a2)1(3b)2(3a2b1)29b2b218a6=b42a6

Oppgave 4

a)

f(x)=x36x2+9x4Df=\Rf´(x)=3x212x+9

b)

Setter den deriverte lik null for å finne ekstremalpunkter:

f´(x)=03x212x+9=0x=4±16122x=1x=3

Faktorisert:

f´(x)=3(x1)(x3)

f´(2)= negativ verdi, så:

Maksimumspunkt: f(1)=16+94=0. dvs. (1,0).

Minimumspunkt: f(3)=2754+274=4. dvs. (3, -4).

c)

Likning til tangenten til grafen i (0, f(0)):

f(0) = -4

f´(0) = 9

y=ax+by=9x+b4=90+bb=4y=9x4

d)

Den deriverte til den andre tangenten må være 9.

f´(x)=9x=0x=4

f(4)=0

Den andre tangenten med stigningstall 9 tangerer i punktet (4,0)

Oppgave 5

a)

b)

Sjekker hjørnene i trekanten (-1, 0), -1, 6) og (2, 3)

3x+2y3(1)+0=33(1)+26=932+23=12

Uttrykket blir størst i punktet (2, 3)

Oppgave 6

a)

K(x)=0,25x2+100x+5000x[0,400]

Inntekt er : I(x)=200x

Overskudd = Inntekt - Kostnad:

O(x)=I(x)K(x)O(x)=200x0,25x2100x5000O(x)=0,25x2+100x5000

b)

O´(x)=0,5x+100

Setter den deriverte lik null og får løsningen x = 200.

200 solgte enheter gir størst overskudd.

Oppgave 7

a)

Sannsynlighet for to røde kuler:

P(2røde)=(32)(41)(73)=3!2!1!4!1!3!7!3!4!=3435=1235

b)

Flere røde enn blå:

p( flere røde enn blå) = P(2 røde) + P (3 røde)= 1235+(40)(33)(73)=1235+135=1335

c)

Med tilbakelegging har vi en binomisk situasjon der p= 37, n = 3 og x = 2 :

P(2 røde) = (32)(37)2(47)=108343

Det er ca en tredjedels sjanse for at to av kulene er røde.

Oppgave 8

a)

Graf A kommer fra en brøkfunksjon, altså h eller g. Begge har vertikal asymptote for x = 1, så det hjelper oss ikke. Dersom vi deler alle ledd i teller og nevner på x vil vi lett se den horisontale asymptoten, når vi lar x gå mot uendelig. h har vertikalasymptote for y = 2 og g har for y =1. Det er altså h som er fremstilt i graf A.

b)

Graf B har en form som tilsier at det kan være en tredjegradsfunksjon. Da har vi kandidatene f og k. Både f og k skjærer y-aksen i 2, så det hjelper oss ikke. Vi sjekker den deriverte for x=0.

f´(x)=3x2+2x2,f´(0)=2k´(x)=6x26.k´(0)=6

Begge de deriverte er negativie, så det er vannskelig å konkludere. Sjekker ekstremalpunkt for x=±1:

f´(1)=3k´(1)=0k´(1)=0

Vi ser at f ikke passer pga minimum i x=1, men k(x) er funksjonen til graf B.

Oppgave 9

9x3x12=0(32)x3x12=032x3x12=0(3x)23x12=0u=3xu2u12=0u=1±1+482u=3u=4

3x kan ikke være negativ, så kun 4 er en løsning for u.

3x=43x=22xlg3=2lg2x=2lg2lg3

DEL TO

Oppgave 1

a)

Vi antarat de er fornøyde uavhengig av hverandre, og at populasjonene er mye større enn utvalget. Bruker binomisk fordeling



Det er ca. 15,7% sannsynlig at 21 elever blir fornøyde.

b)

Det er ca. 7,7% sannsynlig at minst 25 av elevene blir fornøyde.

c)

Det er 32,6% sannsynlig at det trekkes flere jenter enn gutter.

Oppgave 2

a)

En god modell er K(x)=0,13x2+72,73x+20315

Kostnadene ved å produsere 220 enheter er 48.813 kroner.

b)

Fra figur i a:

For å få overskudd må bedriften produsere og selge mellom 127 og 1194 enheter.

c)

Fra figur i a:

Størst overskudd ved 660 enheter, da er overskuddet 38.213,50 kr.

Oppgave 3

a)

Metallet er 500 grader celsius når det blir tatt ut av ovnen, fra figur. Har også at T(0)=470+30=500

b)

Smeden har ca 26,5 minutter til å bearbeide metallstykket. Det er varmt i rommet, 30 grader celsius ( konstanledd i funksjonsuttrykk).

c)

Finner ønsket temperatur ved å løse:

Ts0,9536,5=150

Bruker CAS:

Temperaturen på arbeidsstykket må være ca: 780 + 30 = 810 grader.

Oppgave 4

a)

Areal av eskens bunn: A=(64x)(62x)=3612x24x+8x2=8x236x+36

Multipliserer så med høyden av esken, x, og får volumet:

V(x)=A(x)x=8x336x2+36xx∈<0,1,5>

b)

Deriverer V ved hjelp av CAS. finner nullpunkt. Størst volum får man når x er 0,63 dm, 6,3 cm. Da er volumet ca. 10,4dm3, eller 10,4 liter.

c)

Både a og x er positive verdier i denne praktiske oppgaven. Vi ser at linje 5 gir oss det maksimale volumet vi ble bedt om å vise.