R1 2016 vår LØSNING

oppgaven som pdf

Løsningsforslag (pdf) fra bruker joes. Send gjerne en melding hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.

Løsningsforslag (pdf) fra bruker LektorH.

Løsningsforslag (pdf) fra bruker Claves

Diskusjon av denne oppgaven

a)

$f(x)=-3x^2+6x-4$

$f^{\prime }(x)=-6x+6=-6(x-1)$

b)

$g(x)=5\ln (x^3-x)$

$g^{\prime }(x)=\frac{5(3x^2-1)}{x^3-x}$

c)

$h(x)=\frac{x-1}{x+1}$

$h^{\prime }(x)=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}$

a)

$p(x)=x^3-7x^2+14x+k$

$p(x)$ er delelig med $(x-2)$ hvis og bare hvis $p(2)=0$

$p(2)=8-7\cdot 4+14\cdot 2+k=8-28+28+k=8+k$

$8+k=0$

$k=-8$

b)

$$\begin{gathered} x^3-7x^2+14x-8:(x-2)=x^2-5x+4 \\ -(x^3-2x^2) \\ -5x^2+14x-8 \\ -(-5x^2-10x) \\ (4x-8) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x=\frac{5\pm \sqrt{25-16}}{2} \\ x=1\vee x=4 \\ P(x)=(x-1)(x-2)(x-4) \end{gathered}$$

c)

$P(x)\le 0$

$x\in <\leftarrow ,1]\cup [2,4]$

a)

$f(x)=x^2{e}^{1-x^2}$

$f^{\prime }(x)=2x{e}^{1-x^2}+x^2\cdot -2x{e}^{1-x^2}=2x{e}^{1-x^2}(1-x^2)$

c)

d)

a)

$AB=AC=BC=6cm$

$HB=\frac{1}{2}AB=3cm$

$CH=\sqrt{(BC{)}^2-(HB{)}^2}=\sqrt{6^2-3^2}cm=\sqrt{27}=\sqrt{3^3}cm=3\sqrt{3}cm$

$CF=CE=\sqrt{(BC{)}^2+(BE{)}^2}=\sqrt{6^2+6^2}cm=\sqrt{2\cdot 6^2}cm=6\sqrt{2}cm$

$HF=\sqrt{(CF{)}^2-(CH{)}^2}=\sqrt{72-27}cm=\sqrt{45}cm=\sqrt{9\cdot 5}cm=3\sqrt{5}cm$

b)

$\frac{AF}{AB}=\frac{3+3\sqrt{5}}{6}=\frac{3(1+\sqrt{5})}{2\cdot 3}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi$

Oppgave 5

a)

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}=[5-1,2-1]=[4,1] \\ \overrightarrow{AC}=[3-1,5-1]=[2,4] \\ \overrightarrow{AB}\ne k\overrightarrow{AC} \end{gathered}$$

Punktene A, B og C ligger ikke på en rett linje.

a)

Antall mulige fagkombinasjoner med 2 realfag og 2 andre fag:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2})=\frac{5\cdot 4}{2!}\cdot \frac{8\cdot 7}{2!}=10\cdot 28=280$

b)

Antall mulige fagkombinasjoner med 4 fag hvor minst 2 er realfag:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})=280+\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3!}\cdot 8+5=280+80+5=365$

b)

$f(x)=x^2+px+q$

$A=(0,1)$

$B=(-p,q)$

$\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=[0,1]+\frac{1}{2}[-p,q-1]=[\frac{-p}{2},1+\frac{q-1}{2}]=[\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2}]$

$S=(\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2})$

$r=|\overrightarrow{AS}|=\sqrt{(\frac{-p}{2}{)}^2+(\frac{q-1}{2}{)}^2}=\sqrt{\frac{p^2+(q-1{)}^2}{4}}=\frac{\sqrt{p^2+(q-1{)}^2}}{2}$

c)

Likning for sirkel:

$(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2=r^2$

$(x+\frac{p}{2}{)}^2+(y-\frac{q+1}{2}{)}^2=\frac{p^2+(q-1{)}^2}{4}$

Skjæring med x-aksen:

$y=0$

$(x+\frac{p}{2}{)}^2+(-\frac{q+1}{2}{)}^2=\frac{p^2+(q-1{)}^2}{4}$

$(x+\frac{p}{2}{)}^2=\frac{p^2+(q-1{)}^2}{4}-\frac{(q+1{)}^2}{4}$

$x+\frac{p}{2}=\frac{\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

$x=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Nullpunkter til $f(x)$:

$x^2+px+q=0$

$x=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Sirkelen skjærer x-aksen i nullpunktene til $f(x)$.