Integrerende faktor

En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <math>f^,+A(x)f=B(x)</tex> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <math>e^{\int A(x)\,dx}</tex>.

Generell utledning

Vi starter med å gange diff.ligningen over med en foreløpig ukjent funksjon <math>g=g(x)</tex>: (Her betyr <math>A=A(x)</tex>, <math>B=B(x)</tex> etc.)

<math>f^,+Af=B\,\, \Rightarrow \,\, gf^,+Agf=gB</tex>

Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon <math>g</tex> slik at <math>Ag=g^,</tex>, ser vi at ligningen blir:

<math>gf^,+g^,f=gB</tex>

Da gjenkjenner vi venstresida som <math>(gf)^,</tex> , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen <math>g</tex> finner vi enkelt ved å løse ligningen

<math>g^,=Ag</tex>

Dette er en separabel ligning med løsning <math>g=e^{\int A\,dx}</tex>. Vi har altså funnet integrerende faktor.

Eksempler

Eksempel

La oss se på førsteordensligningen <math>f^,+f=0</tex>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor <math>e^x</tex> får vi <math>e^xf^,+e^xf=0</tex>. Ligningen kan nå omskrives til <math>(e^xf)^,=0</tex> eller ekvivalent <math>\frac{d(e^xf)}{dx}=0 </tex>. Da ser vi at <math>e^xf</tex> må være konstant, i.e. <math>e^xf=c</tex>. Ganger vi med <math>e^{-x}</tex> får vi at løsningen er <math>f(x)=ce^{-x}. </tex>. Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.