Integrasjon - R2

Nedenfor følger en del sentrale ubestemte integraler som er aktuelle for VG 3 - R2.

$ 1) \quad $$\int{tan( x)}dx $

Vi vet at $\tan\,x=\frac{sin\,x}{\cos\,x}$ og at $\frac{d}{dx}\sin\,x=\cos\,x$, si vi setter $u=\cos\,x$:

<math>u=\cos\,x\,\Rightarrow\,\rm{d}u=-\sin\,x\rm{d}x</math>

Vi setter inn i integralet og får

<math>I=\int -\frac{1}{u}\rm{d}u=-\ln|u|+C</math>

Vi kan nå erstatte u med x igjen:

<math>I=-\ln|cos\,x|+C</math>

$ 2) \quad$$\int{tan^2 (x)} dx $

Bruker resultatet fra derivasjonen av tan(x):

$( tan(x) )' = tan^2(x) + 1 \Rightarrow \\ tan^2(x)= (tan(x))' - 1 \\ \int tan^2(x)dx = \int (tan(x))' -\int 1dx \\ \int tan^2(x)dx=tan(x)- x+ C$

$ 5) \quad$$\int{sin^2 (x)} dx $

<math> \int sin^2x dx = \int (sinx \cdot sinx) dx \\ = sinx \cdot (-cosx) - \int cosx \cdot (-cosx)dx \\

= - sinx cosx + \int (1-sin^2x) dx \\ = - sinx cosx + x - \int sin^2x dx</math>

Da har man:

<math> \int sin^2x dx = - sinx cosx + x - \int sin^2x dx \\ 2\int sin^2x dx = - sinx cosx + x \\ \int sin^2x dx = - \frac12 (sinx cosx - x) + C

</math>