1T 2018 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsning laget av LektorNilsen

DEL EN

Oppgave 1

$\left[\begin{array}{r}5x+2y=4\\ 3x+4y=-6\end{array}\right]$

Ganger første likning med -2 for å bruke addisjon, slik at y forsvinner.

$\left[\begin{array}{r}-10x-4y=-8\\ 3x+4y=-6\end{array}\right]$

Legger likningen sammen og får

$$\begin{gathered} -7x=-14 \\ x=2 \end{gathered}$$

Setter x = 2 inn i første likning og får at y er:

$$\begin{gathered} 5x+2y=4 \\ 10+2y=4 \\ 2y=-6 \\ y=-3 \end{gathered}$$

Løsning: $x=2\wedge y=-3$

Oppgave 2

$$\begin{gathered} 3\cdot {10}^x=3000 \\ {10}^x=1000 \\ xlg10=lg1000 \\ x\cdot 1=lg1000 \\ x=3 \end{gathered}$$

Oppgave 3

$\frac{(0,5\cdot {10}^6{)}^2}{0,2\cdot {10}^{-4}+3\cdot {10}^{-5}}=\frac{0,25\cdot {10}^{12}}{2\cdot {10}^{-5}+3\cdot {10}^{-5}}=\frac{25\cdot {10}^{10}}{5\cdot {10}^{-5}}=5\cdot {10}^{15}$

Oppgave 4

$\sqrt{15}\cdot \sqrt{5}-\sqrt{48}=\sqrt{3\cdot 5\cdot 5}-\sqrt{4\cdot 4\cdot 3}=5\sqrt{3}-4\sqrt{3}=\sqrt{3}$

Oppgave 5

$$\begin{gathered} lg1000\cdot lg\sqrt[3]{10}\cdot lg\sqrt[5]{{10}^2}\cdot lg0,00001 \\ =lg{10}^3\cdot lg{10}^{\frac{1}{3}}\cdot lg{10}^{\frac{2}{5}}\cdot lg{10}^{-5} \\ =3\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{5}\cdot (-5)=-2 \end{gathered}$$

a)

$x(x+2)(x-4)=x(x^2-4x+2x-8)=x(x^2-2x-8)=x^3-2x^2-8x$

b)

$$\begin{gathered} x^3-2x^2-8x=0 \\ x(x+2)(x-4)=0 \\ x=-2\wedge x=0\wedge x=4 \end{gathered}$$

Oppgave 7

$$\begin{gathered} x^2-2x-8=0 \\ (x+2)(x-4)=0 \\ x=-2\wedge x=4 \end{gathered}$$

$x^2-2x-8\ge 0$ for $x<-2$ og $x>4$

Oppgave 8

Bruker abc-formelen $x=\frac{-b\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ for å finne funksjonens nullpunkter, a=1, b=k, c=4.

$$\begin{gathered} x^2+kx+4=0 \\ x=\frac{-k\sqrt{k^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1} \\ x=\frac{-k\sqrt{k^2-16}}{2} \end{gathered}$$

Dersom likningen er ulöselig, har grafen til f ingen skjaeringspunkter med x-aksen (dvs. ingen nullpunkter). Dette skjer dersom verdien under kvadratroten er negativ.

Dersom verdien under kvadratroten er 0, får likningen bare én lösning, og grafen til f bare ett skjaeringspunkt med x-aksen (dvs. ett nullpunkt).

Dersom verdien under kvadratroten er positiv, får likningen to lösninger, og grafen til f to skjaeringspunkter med x-aksen (dvs. to nullpunkt).

Vi löser likningen $k^2-16=0$ for å finne hvilke verdier av k oppfyller de ulike mulighetene.

$$\begin{gathered} k^2=16 \\ k=\pm \sqrt{16} \\ k=-4\wedge k=4 \end{gathered}$$

Vi ser at grafen til f har

$\bullet$ ingen skjaeringspunkter med x-aksen for $-4<k<4$

$\bullet$ ett skjaeringspunkt med x-aksen for $k=-4$ og $k=4$

$\bullet$ to skjaeringspunkter med x-aksen for $k<-4$ og $k>4$