S2 2019 høst LØSNING

oppgaven som pdf

diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag til del 2 laget av mattepratbruker Krisian Saug

Løsningsforslag del 1 og del 2 laget av Svein Arneson

DEL 1

Oppgave 1

a)

$f(x)=\frac{1}{2}\ln x$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2x}$

b)

$g(x)=3x\cdot e^{2x}$

$$\begin{gathered} g^{\prime }(x)=3\cdot e^{2x}+3x\cdot 2\cdot e^{2x} \\ {g}^{\prime }(x)=3e^{2x}(2x+1) \end{gathered}$$

c)

$h(x)=\frac{x^2+1}{x-3}$

$$\begin{gathered} h^{\prime }(x)=\frac{2x\cdot (x-3)-(x^2+1)\cdot 1}{(x-3{)}^2} \\ {h}^{\prime }(x)=\frac{2x^2-6x-x^2-1}{x^2-6x+9} \\ {h}^{\prime }(x)=\frac{x^2-6x-1}{x^2-6x+9} \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

$$\begin{gathered} a_n=a_1+(n-1)\cdot d \\ {a}_4=a_1+(4-1)\cdot d \\ 7=-8+3d \\ 3d=15 \\ d=5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} a_n=-8+(n-1)\cdot 5 \\ {a}_n=-8+5n-5 \\ {a}_n=5n-13 \end{gathered}$$

b)

$a_{40}=5\cdot 40-13=200-13=187$

$$\begin{gathered} S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \\ {S}_{40}=\frac{-8+187}{2}\cdot 40 \\ {S}_{40}=179\cdot 20 \\ {S}_{40}=3580 \end{gathered}$$

Oppgave 3

a)

$a_n=a_1\cdot k^{n-1}$

For denne rekka har vi:

$a_n=6\cdot (-\frac{1}{2}{)}^{n-1}$

Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1{k}^{n-1}$ sier vi at den konvergerer. I dette tilfelle er $k=-\frac{1}{2}$, så rekken konvergerer.

I slike tilfeller er summen $S=\frac{a_1}{1-k}$.

$S=\frac{6}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{6}{\frac{3}{2}}=\frac{6\cdot 2}{3}=4$

b)

$0,135135135...=0,135+1,000135+0,000000135+\dots =\frac{135}{1000}+\frac{135}{{1000}^2}+\frac{135}{{1000}^3}+...$

Dette kan uttrykkes som en geometrisk rekke:

$a_n=\frac{135}{1000}\cdot (\frac{1}{1000}{)}^{n-1}$

Vi har $-1<k<1$, så denne rekken konvergerer. Summen av den geometriske rekken, altså tallet $0,135135135...$ blir da:

$S=\frac{a_1}{1-k}=\frac{\frac{135}{1000}}{1-\frac{1}{1000}}=\frac{\frac{135}{1000}}{\frac{999}{1000}}=\frac{135}{999}=\frac{45}{333}=\frac{15}{111}=\frac{5}{37}$

Det kan være vanskelig å vite at teller og nevner i $\frac{135}{999}$ er delelig på 27, så jeg deler teller og nevner på 3, i tre omganger.

$0,135135135...=\frac{5}{37}$

Oppgave 4

I. $a\cdot x-2y+z=4$

II. $2x+z=6$

III. $3x+3y+z=7$

Setter inn $x=-2$ i likning II.

II. $$\begin{gathered} 2\cdot (-2)+z=6 \\ z=6+4 \\ z=10 \end{gathered}$$

Setter inn $x=-2$ og $z=10$ i likning III.

III. $$\begin{gathered} 3\cdot (-2)+3y+10=7 \\ 3y=7-10+6 \\ y=\frac{3}{3} \\ y=1 \end{gathered}$$

Setter inn $x=-2$, $y=1$ og $z=10$ i likning I.

I. $$\begin{gathered} a\cdot (-2)-2\cdot 1+10=4 \\ -2a=4-10+2 \\ a=\frac{-4}{-2} \\ a=2 \end{gathered}$$

Oppgave 5

$f(x)=x^3+3x^2-4$