R2 2019 høst LØSNING

oppgaven som pdf

Diskusjon av denne eksamensoppgaven

Løsningsforslag til del 1 laget av Emilga

Løsningsforslag til del 2 laget av Kristian Saug

Løsningsforslag laget av Ole Henrik Morgenstierne

Løsning til del 1 som videoer laget av Lektor Håkon Raustøl

Løsning til del 2 som videoer laget av Lektor Håkon Raustøl

DEL 1

Oppgave 1

a)

$f(x)=2cos(\pi x)$

$f^{\prime }(x)=-2\pi sin(\pi x)$

b)

$g(x)=co{s}^{2}x\cdot sinx$

$$\begin{gathered} g^{\prime }(x)=(co{s}^{2}x{)}^{\prime }\cdot sinx+co{s}^{2}x\cdot (sinx{)}^{\prime } \\ =2cosx\cdot (-sinx)\cdot sinx+co{s}^{2}x\cdot cosx \\ =-2si{n}^{2}x\cdot cosx+co{s}^{3}x \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

$$\begin{gathered} {\int }_{-1}^1(2x^3+3x-1)dx \\ =[\frac{2}{4}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2-x{]}_{-1}^1 \\ =(\frac{1}{2}\cdot 1^4+\frac{3}{2}\cdot 1^2-1)-(\frac{1}{2}\cdot (-1{)}^4+\frac{3}{2}\cdot (-1{)}^2-(-1)) \\ =(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-1)-(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+1) \\ =-1-1=-2 \end{gathered}$$

b)

$u=2x^2-1$

$\frac{du}{dx}=4x\Rightarrow dx=\frac{du}{4x}$

$$\begin{gathered} \int \frac{8x}{\sqrt{2x^2-1}}dx=\int \frac{8x}{\sqrt{u}}\cdot \frac{du}{4x}=\int \frac{2}{\sqrt{u}}du=2\int u^{-\frac{1}{2}}du \\ =\frac{2}{\frac{1}{2}}\cdot u^{\frac{1}{2}}+C=4\cdot \sqrt{u}+C=4\sqrt{2x^2-1}+C \end{gathered}$$

c)

$\int \frac{2}{(x+3)(x+1)}dx=\int \frac{A}{(x+3)}+\frac{B}{(x+1)}dx$

Vi bestemmer A og B ved å løse likningen:

$$\begin{gathered} 2=(x+1)A+(x+3)B \\ 2=Ax+A+Bx+3B \\ 2=(A+B)x+A+3B \end{gathered}$$

Telleren har ikke noe x-ledd, så vi har:

I $A+B=0$

II$A+3B=2$

Setter inn $A=-B$ i likning II:

$-B+3B=2\Rightarrow B=1$

Fra likning I har vi da $A=-1$

Integralet blir da:

$$\begin{gathered} \int \frac{2}{(x+3)(x+1)}dx=\int \frac{A}{(x+3)}+\frac{B}{(x+1)}dx=\int \frac{-1}{(x+3)}+\frac{1}{(x+1)}dx \\ =-\ln |x+3|+\ln |x+1|+C=\ln |\frac{x+1}{x+3}|+C \end{gathered}$$

Oppgave 3

a)

Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved

$S_n=\frac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}$

Vi må finne antall ledd i rekken $7+11+....+479+483$.

Ser at $d=4$, så antall ledd (n) blir:

$n=\frac{483-7}{4}+1=\frac{476}{4}+1=119+1=120$

Summen av denne rekken blir:

$S_{120}=\frac{120\cdot (7+483)}{2}=60\cdot (7+483)=420+28980=29400$

b)

For en geometrisk rekke har vi

$a_n=a_1\cdot k^{n-1}$

Vi vet at $a_2=6$ og får likning I:

$$\begin{gathered} a_2=a_1\cdot k^{2-1} \\ 6=a_1\cdot k \\ {a}_1=\frac{6}{k} \end{gathered}$$

Summen av en geometrisk rekke som konvergerer er gitt ved

$S=\frac{a_1}{(1-k)}$

Vi vet at summen av rekken er 24 og har dermed likning II:

$$\begin{gathered} 24=\frac{a_1}{(1-k)} \\ {a}_1=24(1-k) \end{gathered}$$

Setter inn $a_1=\frac{6}{k}$ i likning II:

$$\begin{gathered} \frac{6}{k}=24(1-k) \\ 6=24k(1-k) \\ 6=24k-24k^2 \\ 24k^2-24k+6=0 \\ {k}^2-k+\frac{1}{4}=0 \\ (k-\frac{1}{2})(k-\frac{1}{2})=0 \\ k=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Setter inn $k=\frac{1}{2}$ i likning I:

$a_1=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$

Oppgave 4

a)

$2sin(2x)=1$, der $x\in [0,\pi ]$

$sin(2x)=\frac{1}{2}$

$2x=\frac{\pi }{6}+k\cdot 2\pi \vee 2x=(\pi -\frac{\pi }{6})+k\cdot 2\pi k\in \mathbb{Z}$

$x=\frac{\pi }{12}\vee x=\frac{5\pi }{12}$ kun disse to løsningene gir $x\in [0,\pi ]$

$L=\{\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\}$

b)

$2co{s}^{2}x-cosx=1$, der $x\in [0,4\pi ]$

$u=cosx$

$$\begin{gathered} 2u^2-u-1=0 \\ {u}^2-\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}=0 \\ (u+\frac{1}{2})(u-1)=0 \\ u=-\frac{1}{2}\vee u=1 \\ cosx=-\frac{1}{2}\vee cosx=1 \end{gathered}$$

$cosx=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}+k\cdot 2\pi \Rightarrow L=\{\frac{2\pi }{3},\frac{8\pi }{3}\}$ for $x\in [0,4\pi ]$

og $cosx=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{4\pi }{3}+k\cdot 2\pi \Rightarrow L=\{\frac{4\pi }{3},\frac{10\pi }{3}\}$ for $x\in [0,4\pi ]$

$cosx=1\Rightarrow x=0+k\cdot 2\pi \Rightarrow L=\{0,2\pi ,4\pi \}$ for $x\in [0,4\pi ]$

$L=\{0,\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},2\pi ,\frac{8\pi }{3},\frac{10\pi }{3},4\pi \}$

Oppgave 5

B er grafen til f.

Dette fordi $si{n}^2(x)=0$ for $x=0,x=\pi$ og $x=2\pi$ i intervallet $x\in [0,2\pi ]$. Dette er de samme nullpunktene som for $sin(x)$.

I tillegg er $si{n}^2(x)=1$ for $x=\frac{\pi }{2}$ og $x=\frac{3\pi }{2}$ i intervallet $x\in [0,2\pi ]$

Oppgave 6

a)

$f(x)=x+a,0\le x\le 2,a>0$