R2 2020 vår LØSNING

oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsning del 1 av Kristian Saug

Løsning del 2 av Kristian Saug

Løsning del 1 og del 2 av Lektor Trandal

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

DEL 1

Oppgave 1

a)

$f(x)=x\cdot sinx$

$f^{\prime }(x)=sinx+x\cdot cosx$

b)

$g(x)=\frac{cos(x^2)}{x}$

$g^{\prime }(x)=\frac{-2x\cdot sin(x^2)\cdot x-cos(x^2)\cdot 1}{x^2}=\frac{-2x^2\cdot sin(x^2)-cos(x^2)}{x^2}$

Oppgave 2

a)

$\int (x^2+3+e^{2x})dx=\frac{1}{3}{x}^3+3x+\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$

b)

Bruker variabelskifte, der $u=x^2$

$\frac{du}{dx}=2x\Rightarrow dx=\frac{du}{2x}$

$\int 6x\cdot sin(x^2)dx=3\int 2x\cdot sin(u)\frac{du}{2x}=3\int sin(u)du=-3cos(u)+C=-3cos(x^2)+C$

c)

Bruker delvis integrasjon, der $u=lnx\Rightarrow u^{\prime }=\frac{1}{x}$ og $v^{\prime }=x\Rightarrow v=\frac{1}{2}{x}^2$

Finner det ubestemte integralet:

$\int x\cdot lnxdx=\frac{1}{2}{x}^2\cdot lnx-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{2}{x}^{2}dx=\frac{1}{2}{x}^2\cdot lnx-\frac{1}{2}\int xdx=\frac{1}{2}{x}^2\cdot lnx-\frac{1}{4}{x}^2+C$

Finner det bestemte integralet:

$$\begin{gathered} {\int }_1^{e}x\cdot lnxdx=[\frac{1}{2}{x}^2\cdot lnx-\frac{1}{4}{x}^2{]}_1^e=(\frac{1}{2}{e}^2\cdot lne-\frac{1}{4}{e}^2)-(\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot ln1-\frac{1}{4}\cdot 1^2) \\ =(\frac{2}{4}{e}^2\cdot 1-\frac{1}{4}{e}^2)-(\frac{1}{2}\cdot 0-\frac{1}{4})=\frac{1}{4}{e}^2+\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Oppgave 3

a)

Finner $a_5$:

$$\begin{gathered} S_5=\frac{a_1+a_5}{2}\cdot 5 \\ 55=\frac{3+a_5}{2}\cdot 5 \\ {a}_5=\frac{55}{5}\cdot 2-3 \\ {a}_5=19 \end{gathered}$$

Finner differensen:

$$\begin{gathered} d=\frac{a_5-a_1}{5-1} \\ d=\frac{19-3}{4} \\ d=4 \end{gathered}$$

Finner $a_{10}$:

$$\begin{gathered} a_{10}=a_1+(10-1)\cdot d \\ {a}_{10}=3+9\cdot 4 \\ {a}_{10}=39 \end{gathered}$$

Finner summen av de 10 første leddene:

$$\begin{gathered} S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10 \\ {S}_{10}=\frac{3+39}{2}\cdot 10 \\ {S}_{10}=210 \end{gathered}$$

b)

Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1{k}^{n-1}$ sier vi at den konvergerer.

I slike tilfeller er $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\frac{a_1}{1-k}$

I rekken $7+\frac{7}{2}+\frac{7}{4}+...$ er $a_n=7\cdot {\frac{1}{2}}^{n-1}$

Vi har $k=\frac{1}{2}$ og rekken konvergerer derfor.

Bestemmer summen av rekken:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\frac{7}{1-\frac{1}{2}}=\frac{7}{\frac{1}{2}}=14$

Oppgave 4

$f(x)=2sin(\pi x+\pi )-1,x\in ⟨-1,3⟩$

a)

$f^{\prime }(x)=2\pi cos(\pi x+\pi ),x\in ⟨-1,3⟩$

Setter $f^{\prime }(x)=0$

$$\begin{gathered} 2\pi cos(\pi x+\pi )=0 \\ cos(u)=0\Rightarrow u=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \pi x+\pi =\frac{\pi }{2}\vee \pi x+\pi =\frac{3\pi }{2}\vee \pi x+\pi =\frac{5\pi }{2}\vee \pi x+\pi =\frac{7\pi }{2} \\ x=-\frac{1}{2}\vee x=\frac{1}{2}\vee x=\frac{3}{2}\vee x=\frac{5}{2} \end{gathered}$$

Finner y-koordinatene til ekstremalpunktene (vet at en sinusfunksjon kun har topp- og bunnpunkter, og ingen terrassepunkter):

$f(-\frac{1}{2})=2sin(-\frac{\pi }{2}+\pi )-1=2sin(\frac{\pi }{2})-1=2\cdot 1-1=1$

$f(\frac{1}{2})=2sin(\frac{\pi }{2}+\pi )-1=2sin(\frac{3\pi }{2})-1=2\cdot (-1)-1=-3$

$f(\frac{3}{2})=2sin(\frac{3\pi }{2}+\pi )-1=2sin(\frac{5\pi }{2})-1=2\cdot 1-1=1$

$f(\frac{5}{2})=2sin(\frac{5\pi }{2}+\pi )-1=2sin(\frac{7\pi }{2})-1=2\cdot (-1)-1=-3$

Toppunkter: $(-\frac{1}{2},1)$ og $(\frac{3}{2},1)$

Bunnpunkter: $(\frac{1}{2},-3)$ og $(\frac{5}{2},-3)$

b)

Skjæring med y-aksen:

$f(0)=2sin(\pi \cdot 0+\pi )-1=2sin(\pi )-1=0-1=-1$

Grafen til $f$ skjærer y-aksen i punktet $(0,-1)$. Vi kan også se dette av funksjonsuttrykket.

Skjæring med x-aksen; setter $f(x)=0$

$$\begin{gathered} 2sin(\pi x+\pi )-1=0 \\ sin(\pi x+\pi )=\frac{1}{2} \\ sin(u)=\frac{1}{2}\Rightarrow u=\frac{\pi }{6}+k\cdot 2\pi \vee u=\frac{5\pi }{6}+k\cdot 2\pi \\ \pi x+\pi =\frac{\pi }{6}\vee \pi x+\pi =\frac{5\pi }{6}\vee \pi x+\pi =\frac{13\pi }{6}\vee \pi x+\pi =\frac{17\pi }{6} \\ x=-\frac{5}{6}\vee x=-\frac{1}{6}\vee x=\frac{7}{6}\vee x=\frac{11}{6} \end{gathered}$$

Grafen til $f$ skjærer x-aksen i punktene $(-\frac{5}{6},0),(-\frac{1}{6},0),(\frac{7}{6},0),(\frac{11}{6},0)$.

c)

Bruk ekstremalpunktene og nullpunktene, samt skjæring med y-aksen, til å lage en skisse for hånd.

Oppgave 5

Vi har punktene A(-1,3,2), B(2,2,1), C(0,1,0) og T(5,3,8).

a)

$\overrightarrow{AB}=[2-(-1),2-3,1-2]=[3,-1,-1]$

$\overrightarrow{AC}=[0-(-1),1-3,0-2]=[1,-2,-2]$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=[(-1)\cdot (-2)-(-1)\cdot (-2),(-1)\cdot 1-3\cdot (-2),3\cdot (-2)-(-1)\cdot 1]=[2-2,-1+6,-6+1]=[0,5,-5]$

b)

$\overrightarrow{AT}=[5-(-1),3-3,8-2]=[6,0,6]$

$V=\frac{|(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC})\cdot \overrightarrow{AT}|}{6}=\frac{|[0,5,-5]\cdot [6,0,6]|}{6}=\frac{|0\cdot 6+5\cdot 0+(-5)\cdot 6|}{6}=\frac{|-30|}{6}=\frac{30}{6}=5$

Volumet av pyramiden ABCT er 5.

c)

Likningen for et plan er

$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$

Der a, b og c er koordinatene til planets normalvektor, og $(x_0,y_0,z_0)$ er et punkt i planet.

Vi har planets normalvektor $[0,5,-5]$ og et punkt i planet A(-1,3,2).

Vi får da likning for planet som inneholder punktene A, B og C:

$$\begin{gathered} 0(x-(-1))+5(y-3)+(-5)(z-2)=0 \\ 5y-15-5z+10=0 \\ 5y-5z=5 \\ y-z=1 \end{gathered}$$

Oppgave 6

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

$2+lnx+\frac{(lnx{)}^2}{2}+...$

a)

Vi har kvotienten $k=\frac{lnx}{2}$. Rekken konvergerer når $\frac{lnx}{2}\in ⟨-1,1⟩$. Løser ulikhetene:

$$\begin{gathered} \frac{lnx}{2}>-1 \\ lnx>-2 \\ x>e^{-2} \end{gathered}$$

og

$$\begin{gathered} \frac{lnx}{2}<1 \\ lnx<2 \\ x<e^2 \end{gathered}$$

Rekken konvergerer når $x\in ⟨e^{-2},e^2⟩$

b)

Summen av rekken er gitt ved

$$\begin{gathered} S(x)=\frac{a_1}{1-k} \\ 4=\frac{2}{1-\frac{lnx}{2}} \\ 4\cdot (1-\frac{lnx}{2})=2 \\ 4-2lnx=2 \\ 2lnx=2 \\ lnx=1 \\ x=e \end{gathered}$$

Summen av rekken blir 4 når $x=e$.

Oppgave 7

Vi har differensiallikningen $2x\cdot y^{\prime }-3y=0$

Sjekker stigningstallet til tangenten i hvert av punktene:

Punkt A(2,2): $$\begin{gathered} 2\cdot 2\cdot y^{\prime }-3\cdot 2=0 \\ 4y^{\prime }-6=0 \\ {y}^{\prime }=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Punkt B(-2,2): $$\begin{gathered} 2\cdot (-2)\cdot y^{\prime }-3\cdot 2=0 \\ -4y^{\prime }-6=0 \\ {y}^{\prime }=-\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Punkt C(-2,-2): $$\begin{gathered} 2\cdot (-2)\cdot y^{\prime }-3\cdot (-2)=0 \\ -4y^{\prime }+6=0 \\ {y}^{\prime }=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Punkt D(2,-2): $$\begin{gathered} 2\cdot 2\cdot y^{\prime }-3\cdot (-2)=0 \\ 4y^{\prime }+6=0 \\ {y}^{\prime }=-\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Den markerte tangentretningen samsvarer med retningen til tangenten til integralkurven som går gjennom punkt B og C, men ikke A og D. I punkt A viser den markerte tangentretningen stigningstall 0, og i punkt D stigningstall $-\frac{1}{4}$, noe som ikke passer med tangenten til integralkurven i disse to punktene.

Oppgave 8

Linje $l$, som står normalt på planet $\alpha$, gjennom punktet P:

$l:\left[\begin{array}{rl}x& =-3-2s\\ y& =7+2s\\ z& =-1-s\end{array}\right]$

Linja $m$, som står normalt på planet $\beta$, gjennom punktet Q:

$m:\left[\begin{array}{rl}x& =-4-7t\\ y& =5+4t\\ z& =-2-4t\end{array}\right]$

Skjæringspunktet mellom linje $l$ og $m$ er sentrum i kula. Finner skjæringspunktet S, ved å løse likningssettet:

$$\begin{gathered} I-3-2s=-4-7t \\ II7+2s=5+4t \\ III-1-s=-2-4t \end{gathered}$$

Finner et uttrykk for s:

$IIIs=1+4t$

Setter inn uttrykket for s i likning $I$, og finner t:

$$\begin{gathered} I-3-2(1+4t)=-4-7t \\ -3-2-8t=-4-7t \\ t=-1 \end{gathered}$$

Setter inn uttrykket for t i uttrykket for s fra likning $III$. (Dette for å kunne sjekke at likningssettet er riktig løst):

$s=1+4\cdot (-1)=1-4=-3$

Setter inn t = -1 i parameterfremstillingen for linje $m$, og finner punktet S:

$$\begin{gathered} x=-4-7(-1)=-4+7=3 \\ y=5+4(-1)=5-4=1 \\ z=-2-4(-1)=-2+4=2 \end{gathered}$$

Sentrum i kula er S(3,1,2). Bestemmer radius til kula:

$\overrightarrow{QS}=[3-(-4),1-5,2-(-2)]=[7,-4,4]$

$|\overrightarrow{QS}|=\sqrt{7^2+(-4{)}^2+4^2}=\sqrt{49+16+16}=\sqrt{81}=9$

Radius i kula er 9. Finner likning for kuleflaten:

$(x-3{)}^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=9^2$