R2 2020 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner
Linje 345: | Linje 345: | ||
==Oppgave 3== | ==Oppgave 3== | ||
===a)=== | |||
Summen av diameterne de n innerste rundene kan uttrykkes ved den aritmetiske rekken: | |||
Diameteren i runde nr. 50: | |||
Summen av diameterne de 50 innerste rundene: | |||
Summen av omkretsene (lengden på papiret) de 50 innerste rundene: | |||
Det vil være omtrent 9 meter papir igjen på tørkerullen når det er 50 runder igjen før den er tom. | |||
===b)=== | |||
==Oppgave 4== | ==Oppgave 4== |
Sideversjonen fra 18. jul. 2020 kl. 11:26
Diskusjon av denne oppgaven på matteprat
Løsning del 1 av Kristian Saug
Løsning del 2 av Kristian Saug
Løsning del 1 og del 2 av Lektor Trandal
Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas
DEL 1
Oppgave 1
a)
b)
Oppgave 2
a)
b)
Bruker variabelskifte, der
c)
Bruker delvis integrasjon, der
Finner det ubestemte integralet:
Finner det bestemte integralet:
Oppgave 3
a)
Finner
Finner differensen:
Finner
Finner summen av de 10 første leddene:
b)
Dersom
I slike tilfeller er
I rekken
Vi har
Bestemmer summen av rekken:
Oppgave 4
a)
Setter
Finner y-koordinatene til ekstremalpunktene (vet at en sinusfunksjon kun har topp- og bunnpunkter, og ingen terrassepunkter):
Toppunkter:
Bunnpunkter:
b)
Skjæring med y-aksen:
Grafen til
Skjæring med x-aksen; setter
Grafen til
c)
Bruk ekstremalpunktene og nullpunktene, samt skjæring med y-aksen, til å lage en skisse for hånd.
Oppgave 5
Vi har punktene A(-1,3,2), B(2,2,1), C(0,1,0) og T(5,3,8).
a)
b)
Volumet av pyramiden ABCT er 5.
c)
Likningen for et plan er
Der a, b og c er koordinatene til planets normalvektor, og
Vi har planets normalvektor
Vi får da likning for planet som inneholder punktene A, B og C:
Oppgave 6
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
a)
Vi har kvotienten
og
Rekken konvergerer når
b)
Summen av rekken er gitt ved
Summen av rekken blir 4 når
Oppgave 7
Vi har differensiallikningen
Sjekker stigningstallet til tangenten i hvert av punktene:
Punkt A(2,2):
Punkt B(-2,2):
Punkt C(-2,-2):
Punkt D(2,-2):
Den markerte tangentretningen samsvarer med retningen til tangenten til integralkurven som går gjennom punkt B og C, men ikke A og D. I punkt A viser den markerte tangentretningen stigningstall 0, og i punkt D stigningstall
Oppgave 8
Linje
Linja
Skjæringspunktet mellom linje
Finner et uttrykk for s:
Setter inn uttrykket for s i likning
Setter inn uttrykket for t i uttrykket for s fra likning
Setter inn t = -1 i parameterfremstillingen for linje
Sentrum i kula er S(3,1,2). Bestemmer radius til kula:
Radius i kula er 9. Finner likning for kuleflaten:
Oppgave 9
En følge er gitt ved
1. Induksjonsgrunnlag:
2. Induksjonstrinnet: Vi antar at
Vi har
Hvilket skulle vises.
DEL 2
Oppgave 1
a)
Bruker Geogebra til å utføre en regresjonsanalyse.
En trigonometrisk funksjon som passer godt med informasjonen i tabellen er:
b)
Bruker Geogebra til å tegne grafen til
Ifølge modellen økte forbruket raskest den 10. måneden, altså oktober.
c)
Bruker Geogebra til å bestemme integralet.
d)
Bruker Geogebra. Funksjonen
Bestemmer
Den årlige energikostnaden til boligen er 13941,5 kr ifølge modellen.
Oppgave 2
a)
Differensiallikningen
k er proporsjonalitetskonstanten, og denne må være mindre enn null, fordi massen til det radioaktive stoffet avtar. Vekstfarten, M', er altså negativ, og da må vi også ha k<0 i differensiallikningen.
b)
Bruker CAS i Geogebra 6.0.
Løser differensiallikningen i linje 1, setter inn (6,97) i linje 2 for å finne k.
c)
Bruker Microsoft Mathematics til å løse likningen M(t)=2, da CAS i Geogebra ikke ser ut til å fungere.
Det vil ta ca. 771 timer før massen til det radioaktive stoffet er 2 mg.
d)
Bruker Microsoft Mathematics. Deriverer M(t) i første linje, og løser
Det tar ca. 183,5 timer før stoffet ikke lenger blir vurdert som helsefarlig.
Oppgave 3
a)
Summen av diameterne de n innerste rundene kan uttrykkes ved den aritmetiske rekken:
Diameteren i runde nr. 50:
Summen av diameterne de 50 innerste rundene:
Summen av omkretsene (lengden på papiret) de 50 innerste rundene:
Det vil være omtrent 9 meter papir igjen på tørkerullen når det er 50 runder igjen før den er tom.