S1 2020 høst LØSNING

oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

DEL 1

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} 2(3x+2)=2x(x+2)+4 \\ 6x+4=2x^2+4x+4 \\ -2x^2+2x=0|:(-2) \\ {x}^2-x=0 \\ x(x-1)=0 \\ x=0\vee x=1 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} 3^x\cdot 3^2=\frac{1}{3^5} \\ {3}^{x+2}=3^{-5} \\ x+2=-5 \\ x=-7 \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} lg(3x-2)=2lgx \\ lg(3x-2)=lg(x^2) \\ {10}^{lg(3x-2)}={10}^{lg(x^2)} \\ 3x-2=x^2 \\ -x^2+3x-2=0|:(-1) \\ {x}^2-3x+2=0 \\ (x-1)(x-2)=0 \\ x=1\vee x=2 \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

$$\begin{gathered} \frac{4a^3(a^{-2}{b}^3{)}^2}{(2^{-1}{)}^{-2}a{b}^4} \\ =\frac{4a^3\cdot a^{-4}\cdot b^6}{2^2\cdot a{b}^4} \\ =a^{3-4-1}\cdot b^{6-4} \\ =a^{-2}\cdot b^2 \\ =(\frac{b}{a}{)}^2 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \frac{1}{x-1}-\frac{2x}{x^2-1}+1 \\ =\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}-\frac{2x}{(x+1)(x-1)}+\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)} \\ =\frac{x+1-2x+(x^2-1)}{(x+1)(x-1)} \\ =\frac{x^2-x}{(x+1)(x-1)} \\ =\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} \\ =\frac{x}{x+1} \end{gathered}$$

Oppgave 3

$$\begin{gathered} x^2-3x+2\le 0 \\ (x-1)(x-2)\le 0 \end{gathered}$$

Nullpunkter: $x=1$ og $x=2$

$x^2-3x+2\le 0$ når $x\in [1,2]$

Oppgave 4

Vi lar $x$ være antall gullmedaljer, og $y$ være antall sølvmedaljer.

$$\begin{gathered} Ix+y=16 \\ II7x+5y=102 \end{gathered}$$

$Iy=16-x$

$$\begin{gathered} II7x+5(16-x)=102 \\ 7x+80-5x=102 \\ 2x=102-80 \\ x=\frac{22}{2}=11 \end{gathered}$$

Norge tok 11 gullmedaljer i vinter-OL i 2014.

Oppgave 5

a)

$P(tolike)=P((B\cap B)\cup (R\cap R))=\frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3}+\frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{12}+\frac{2}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

Sannsynligheten for at Mia må ta oppvasken dersom de følger dette forslaget er $\frac{1}{3}$.

b)

La $x$ være antall røde kuler.

$$\begin{gathered} P(toulike)=P((B\cap R)\cup (R\cap B)) \\ =\frac{2}{2+x}\cdot \frac{x}{2+x-1}+\frac{x}{2+x}\cdot \frac{2}{2+x-1} \\ =\frac{2x}{(2+x)(1+x)}\cdot 2 \\ =\frac{4x}{x^2+2x+x+2} \\ =\frac{4x}{x^2+3x+2} \end{gathered}$$

Setter $P(toulike)<\frac{1}{2}$

$$\begin{gathered} \frac{4x}{x^2+3x+2}<\frac{1}{2} \\ 8x<x^2+3x+2 \\ -x^2+5x-2<0 \\ {x}^2-5x+2>0 \\ x>\frac{5\pm \sqrt{25-4\cdot 1\cdot 2}}{2} \\ {x}_1>\frac{5+\sqrt{17}}{2}\vee x_2>\frac{5-\sqrt{17}}{2} \end{gathered}$$

Velger den positive løsningen, $x_1$. Vi vet at $\sqrt{17}>4$, siden $\sqrt{16}=4$.

$$\begin{gathered} x_1>\frac{5+4}{2} \\ {x}_1>4,5 \end{gathered}$$

Det må ligge flere enn 5 røde kuler i krukken, dersom sannsynligheten for at de to kulene som trekkes har ulik farge, er mindre enn 50 %.

Oppgave 6

$\bullet$ Vi har en vertikal asymptote i x = 3. Det vil si at nevner er lik null når x = 3.

$3+c=0\Rightarrow c=-3$

$\bullet$ Vi lar x gå mot uendelig:

$li{m}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{ax+b}{x+c}\approx li{m}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{ax}{x}=a$

$$ Vi har en horisontal asymptote i y = -2, og har derfor $a=-2$

$\bullet$ Ser at vi har et nullpunkt i x=2. Setter $f(x)=0$

$$\begin{gathered} \frac{ax+b}{x+c}=0 \\ \frac{-2\cdot 2+b}{x-3}=0 \\ -4+b=0 \\ b=4 \end{gathered}$$

Vi har $a=-2$, $b=4$ og $c=-3$.

Oppgave 7

a)

Skriver om ulikhetene på formen y=ax+b. Tegner inn disse linjene i et koordinatsystem (du må gjøre det for hånd).

$-2x+5y\le 8\Rightarrow y\le \frac{2}{5}x+\frac{8}{5}\Rightarrow y\le 0,4x+1,6$

$2x+y\ge 4\Rightarrow y\ge -2x+4$

$2x-y\le 8\Rightarrow y\ge 2x-8$

b)

Regner ut verdien til uttrykket $-2x+3y$ i hjørnene:

Hjørnet (1,2): $-2\cdot 1+3\cdot 2=-2+6=4$

Hjørnet (3,-2): $-2\cdot 3+3\cdot (-2)=-6-6=-12$

Hjørnet (6,4): $-2\cdot 6+3\cdot 4=-12+12=0$

Uttrykket $-2x+3y$ kan få alle verdier i intervallet $[-12,4]$, dersom (x,y) skal ligge i M.

Oppgave 8

$g(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$

a)

$g(\frac{3}{2})=(\frac{3}{2}{)}^3-\frac{3}{2}\cdot (\frac{3}{2}{)}^2=(\frac{3}{2}{)}^3-(\frac{3}{2}{)}^3=0$

$g(2)=2^3-\frac{3}{2}\cdot 2^2=8-3\cdot 2=8-6=2$

Gjennomsnittlig vekstfart:

$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2-0}{2-\frac{3}{2}}=\frac{2}{0,5}=4$

Den gjennomsnittlige vekstfarten til g i intervallet $[\frac{3}{2},2]$ er 4.

b)

$g^{\prime }(x)=3x^2-\frac{3\cdot 2}{2}x=3x^2-3x$

$g^{\prime }(2)=3\cdot 2^2-3\cdot 2=12-6=6$