R1 2023 Høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på Matteprat

Løsningsforslag laget av Realfagsportalen

REA 3056

Oppgave 1

$f(x)=x^2\cdot ln(x)$

$f^{\prime }(x)=2x\cdot ln(x)+x^2\cdot \frac{1}{x}=x(ln(x)+1)$

Oppgave 2

$2\ln e^3=2\cdot 3\ln e=6$

3 lg(70) Vi vet at lg 70 er mellom 1 og 2 fordi lg 10 = 1 og lg100= 2, så uttrykket er mellom 3 og 6. Vi kan omforme:

$3lg(70)=3lg(10\cdot 7)=3(lg10+lg7)=3+3lg7$

$e^{3\ln 2}=e^{{\ln 2}^3}=2^3=8$

I stigende rekkefølge:

$3\lg (70),2\ln e^3,e^{3\ln 2}$

Oppgave 3

a)

$\overrightarrow{AB}=[2-(-3),-2-(-1)]=[5,-1]$ lengde $\sqrt{26}$

$\overrightarrow{BC}=[5-2,2-(-2)]=[3,4]$ lengde $\sqrt{9+16}=5$

$\overrightarrow{CA}=[-3-5),-1-2]=[-8,-3]$ lengde $\sqrt{73}$

Sidekanten BC er kortest.

b)

Dersom skalarproduktet mellom vektorene er null, er vinkelen mellom dem 90 grader.

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=[5,-1]\cdot [3,4]=15-4=11$

$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=[3,4]\cdot [-8,-3]=-24-12=-36$

$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=[-8,-3]\cdot [5,-1]=-40+3=-37$

Ingen av vinklene i trekanten er 90 grader.

Del to

Oppgave 2

a)

$f(k)=k^2+(2-k)k=2k$

$\underset{x\to k^{+}}{lim}(x^2+(2-k)x)=f(k)=2k$

$\underset{x\to k^{-}}{lim}(-x^2+(2+k)x)=f(k)=2k$

Funksjonene er kontinuerlig.

Oppgave 4

b)

Vi setter opp et uttrykk for arealet av boksens overflate. Vi kaller sidene i grunnflaten for x og høyden for h:

$x^2+4xh=120$

Bruker denne sammenhengen til å finne et uttrykk for h: $h=\frac{120-x^2}{4x}$

Finner så et uttrykk for volumet:

$V(x)=x^2\cdot h=x^2\cdot \frac{120-x^2}{4x}=30x-\frac{x^3}{4}$

Det maksimale volumet boksen kan få er 126,5 liter. Da er sidekantene i bunnen ca. 63 cm.

c)

Her følger vi samme metodikk som i b, men nå finner vi et uttrykk for h ved å ta utgangspunkt i volumet: $x^2\cdot h=80$

Vi finner h uttrykt ved x: $h=\frac{80}{x^2}$

Overflatearealet kan da uttrykkes som : $A(x)=x^2+4xh=x^2+4x\cdot \frac{80}{x^2}=x^2+\frac{320}{x}$

Oppgave 6

a)

$f(x)=x^2+3x+1$

$f^{\prime }(x)=2x+3$

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{(9+9+1)-(1+3+1)}{2}=7$

$f^{\prime }(c)=2c+3=7$

$c=2$