1T 2025 høst LK20 LØSNING

Del 1

Oppgave 1

<math>x^2 + 4x - 5 < 0</math>

Vi løser likningen <math>x^2 + 4x - 5 = 0</math>

Bruker abc-formelen: <math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>

Her er <math>a = 1,; b = 4,; c = -5</math>

<math> x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} </math> <math> x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} </math> <math> x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} </math> <math> x = \frac{-4 \pm 6}{2} </math>

Dette gir løsningene: <math> x = 1 \quad \text{eller} \quad x = -5 </math>

Parabelen åpner oppover (fordi <math>a > 0</math>), så uttrykket er negativt mellom nullpunktene.

<math> -5 < x < 1 </math>

Oppgave 2

Bestem nullpunkta til funksjonen <math>f(x) = x^3 - 5x^2 - 8x + 12</math>

Steg 1: Finn en rasjonell rot

Vi tester hele tall som deler 12.

Tester <math>x = 1</math>: <math> f(1) = 1 - 5 - 8 + 12 = 0 </math>

Dermed er <math>x = 1</math> et nullpunkt.

Steg 2: Polynomdivisjon

Dividerer <math>f(x)</math> med <math>(x - 1)</math>:

<math> x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x^2 - 4x - 12) </math>

Steg 3: Løs andregradslikningen

<math> x^2 - 4x - 12 = 0 </math>

Bruker abc-formelen:

<math> x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2} </math> <math> x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} </math> <math> x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} </math> <math> x = \frac{4 \pm 8}{2} </math>

Dette gir: <math> x = 6 \quad \text{eller} \quad x = -2 </math>

Løsning

Nullpunktene til funksjonen er: <math> x = -2,; x = 1,; x = 6 </math>