1T 2025 høst LK20 LØSNING

Del 1

Oppgave 1

<math>x^2 + 4x - 5 < 0</math>

Vi løser likningen <math>x^2 + 4x - 5 = 0</math>

Bruker abc-formelen: <math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>

Her er <math>a = 1,; b = 4,; c = -5</math>

<math> x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} </math> <math> x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} </math> <math> x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} </math> <math> x = \frac{-4 \pm 6}{2} </math>

Dette gir løsningene: <math> x = 1 \quad \text{eller} \quad x = -5 </math>

Parabelen åpner oppover (fordi <math>a > 0</math>), så uttrykket er negativt mellom nullpunktene.

<math> -5 < x < 1 </math>

Oppgave 2

Bestem nullpunkta til funksjonen <math>f(x) = x^3 - 5x^2 - 8x + 12</math>

Steg 1: Finn en rasjonell rot

Vi tester hele tall som deler 12.

Tester <math>x = 1</math>: <math> f(1) = 1 - 5 - 8 + 12 = 0 </math>

Dermed er <math>x = 1</math> et nullpunkt.

Steg 2: Polynomdivisjon

Dividerer <math>f(x)</math> med <math>(x - 1)</math>:

<math> x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x^2 - 4x - 12) </math>

Steg 3: Løs andregradslikningen

<math> x^2 - 4x - 12 = 0 </math>

Bruker abc-formelen:

<math> x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2} </math> <math> x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} </math> <math> x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} </math> <math> x = \frac{4 \pm 8}{2} </math>

Dette gir: <math> x = 6 \quad \text{eller} \quad x = -2 </math>

Løsning

Nullpunktene til funksjonen er: <math> x = -2,; x = 1,; x = 6 </math>

Oppgave 3

En rasjonal funksjon er gitt ved <math>f(x) = \frac{2x + 6}{x^2 + 4}</math>

Vi vurderer hver påstand.

Påstand 1

Grafen til <math>f</math> har nøyaktig ett nullpunkt.

Nullpunkter finnes når telleren er lik null (og nevneren ikke er null):

<math> 2x + 6 = 0 </math> <math> x = -3 </math>

Sjekk nevneren: <math> x^2 + 4 = (-3)^2 + 4 = 13 \neq 0 </math>

Det finnes ett og bare ett nullpunkt.

Påstand 1 er riktig.

Påstand 2

Grafen til <math>f</math> har ingen vertikale asymptoter.

Vertikale asymptoter oppstår når nevneren er 0.

<math> x^2 + 4 = 0 </math> <math> x^2 = -4 </math>

Dette har ingen reelle løsninger, altså blir nevneren aldri 0.

Påstand 2 er riktig.

Påstand 3

Grafen til <math>f</math> skjærer aldri y-aksen.

Grafen skjærer y-aksen når <math>x = 0</math>:

<math> f(0) = \frac{2 \cdot 0 + 6}{0^2 + 4} = \frac{6}{4} = 1{,}5 </math>

Grafen skjærer y-aksen i punktet <math>(0, 1{,}5)</math>.

Påstand 3 er feil.

Påstand 4

Grafen til <math>f</math> har horisontal asymptote <math>y = 2</math>.

Graden i telleren er 1, graden i nevneren er 2. Når graden i telleren er lavere enn graden i nevneren, er den horisontale asymptoten:

<math> y = 0 </math>

Påstand 4 er feil.

Konklusjon

Riktige påstander er:

Påstand 1

Påstand 2

Oppgave 4

Oskar satte pengene i banken med 4,5 % rente per år i 5 år og har i dag <math>250,000</math> kroner.

Vi skal finne hvor mye han vant i Lotto (startbeløpet).

Steg 1: Renteformel

Ved renters rente gjelder: <math> \text{sluttverdi} = \text{startverdi} \cdot (1 + r)^n </math>

Her er:

<math>r = 0{,}045</math>

<math>n = 5</math>

<math> 250\,000 = \text{startverdi} \cdot 1{,}045^5 </math>

Steg 2: Løs for startverdi

<math> \text{startverdi} = \frac{250,000}{1{,}045^5} </math>

Steg 3: Sammenlign med uttrykkene

Riktig uttrykk er: <math> \frac{250,000}{1{,}045^5} </math>

Dette tilsvarer uttrykk 2.

Siden: <math> \frac{1}{1{,}045^5} = 1{,}045^{-5} </math>

kan vi også bruke: <math> 250,000 \cdot 1{,}045^{-5} </math>

Dette tilsvarer uttrykk 6.

Løsning

Riktige uttrykk er:

2

6