R1 2012 vår LØSNING

Oppgave 1:

a)

1)

<tex>f(x) = 5x^3+x-4 \ f'(x) = 3 \cdot 5x^2 + 1 \ f'(x) = 15x^2 + 1 </tex>

2)

<tex>g(x) = 5e^{3x} \ u = 3x \wedge u' = 3 \ g'(x) = 5e^u \cdot u' \ g'(x) = 15e^{3x}</tex>

b)

<tex> 2ln(\frac{a^2}{b}) + ln (a \cdot b) - 3ln a = \ 2ln a^2 - 2ln b + ln a + lnb - 3 lna = \4ln a - 2ln b + ln a + lnb - 3 lna = \ 2lna - lnb </tex>

c)

<tex> f(x)= x^3-3x</tex>

1)

Nullpunkter:

<tex>x^3-3x = x(x^2-3)= x(x- \sqrt 3 )(x + \sqrt 3) \x = - \sqrt3 \quad \vee \quad x = 0 \quad \vee \quad x= \sqrt3</tex>

2)

<tex>f'(x) = 3x^2-3 \f'(x) = 0 \ 3(x^2-1) = 0 \ x = -1 \quad \vee \quad x = 1 \ f(-1)= 2 \quad \vee \quad f(1) = -2</tex>

Toppunkt (-1,2)

Bunnpunkt (1,-2)

3)

d)

<tex>P(x) = x^3-3x^2-x+3 \ P(3) = 27-27-3+3 =0 \ \ P(x):(x-3) \ (x^3-3x^2-x+3): (x-3) =x^2-1

\-(x^3-3x^2)\ \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad -(-x+3) \ \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad 0</tex>

Dette gir følgende løsninger:

x = - 1 eller x = 1 eller x = 3.

e)

<tex>\vec r(t) = [3,0t ,-4,9t^2] \ \vec v(t) = \vec r'(t) = [3,0 , -9,8t] \ \vec a(t) = \vec v'(t) = \vec r(t) = [0 , -9,8] </tex>

Oppgave 2:

b)

Skalarprodukt:

<tex>[1,a_1]\cdot[1,a_2] = 0 \ 1+ a_1 \cdot a_2 = 0 \ a_1 \cdot a_2 =-1</tex>

c)

<tex>y= - \frac 12x+5</tex>

d)

Oppgave 3:

a)

<tex> f(x)= \frac1x \ f'(x) = - \frac {1}{x^2} \ f'(a) = - \frac {1}{a^2} \ Rett \quad linje: \quad y=ax+b \ y= - \frac{1}{a^2}x+ b </tex>

Finner b ved å bruke punktet (a, f(a)):

<tex>y = - \frac{1}{a^2}x+ b \ \frac 1a = - \frac{1}{a^2}a+ b \ b= \frac 2a </tex>

Som gir likningen

<tex>y = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a</tex>

b)

<tex>y = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a</tex>

A:

<tex> y=0 \ 0 = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a \ \frac{x}{a^2} = \frac 2a \ x=2a</tex>

Koordinater A: (2a,0)

B:

<tex> \frac 2a </tex>

Koordinater B:<tex>( \frac 2a, 0)</tex>

c)

Arealet av trekanten avgrenset av tangenten og aksene er:

<tex> A= \frac{2a \cdot \frac 2a}{2} = 2</tex>

Man observerer at arealet er uavhengig av x.

Oppgave 9:

a)

b)

g(x)=