R2 2012 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner
Ingen redigeringsforklaring |
|||
Linje 1: | Linje 1: | ||
= Del 1 = | |||
== Oppgave 1 == | |||
=== a) === | |||
''' 1) ''' | |||
''' 2) ''' | |||
$ | ''' 3) ''' $k(x) = 5\cos(\frac{\pi}{12}x-2)+7 \ k'(x) = - \frac{5\pi}{12} \sin(\frac{\pi}{13}x-2)$ | ||
=== b) === | === b) === | ||
$\int xe^{2x}dx = \ | |||
$\int xe^{2x}dx = \frac12 x e^{2x} - \int \frac12 e^{2x}dx \ = \frac 12 x e^{2x} - \frac 14 e^{2x} +C \ = \frac 14 e^{2x}(2x-1) + C$ | |||
=== c) === | === c) === | ||
$\int^7_3 \frac{2x}{x^2-4}dx \ \frac{2x}{x^2+4} = \frac{A}{x-2}+ \frac{B}{x-2} \ 2x= A(x+2) + B(x-2) \ x=2 \Rightarrow A = 1 \ x= -2 \Rightarrow B=1 \ \int^7_3 \frac{2x}{x^2-4}dx =\int^7_3 \frac{1}{x-2}dx + \int^7_3 \frac {1}{x+2}dx \ = [ln|x-2|]^7_3 + [ln|x+2|]^7_3 \ = ln5-ln1+ln9-ln5 = ln3^2 = | |||
$\int^7_3 \frac{2x}{x^2-4}dx \ \frac{2x}{x^2+4} = \frac{A}{x-2}+ \frac{B}{x-2} \ 2x= A(x+2) + B(x-2) \ x=2 \Rightarrow A = 1 \ x= -2 \Rightarrow B=1 \ \int^7_3 \frac{2x}{x^2-4}dx =\int^7_3 \frac{1}{x-2}dx + \int^7_3 \frac {1}{x+2}dx \ = [\ln|x-2|]^7_3 + [\ln|x+2|]^7_3 \ = \ln5-\ln1+\ln9-\ln5 = \ln3^2 = 2\ln3$ | |||
=== d) === | === d) === | ||
$y' -2y = 3 \ y' \cdot e^{-2x}-2ye^{-2x} = 3e^{-2x} \ (ye^{-2x})' =3e^{-2x} \ ye^{-2x} = - \frac 32 e^{-2x} + C \ y = - \frac 32 +Ce^{2x} \y( | |||
$y' -2y = 3 \ y' \cdot e^{-2x}-2ye^{-2x} = 3e^{-2x} \ (ye^{-2x})' =3e^{-2x} \ ye^{-2x} = - \frac 32 e^{-2x} + C \ y = - \frac 32 +Ce^{2x} \y(0) = 8 \Rightarrow 8 = - \frac 32 + C \Rightarrow C = \frac{19}{2} \ y = - \frac 32 + \frac{19}{2}e^{2x}$ | |||
=== e) === | === e) === | ||
Linje 33: | Linje 38: | ||
''' 1) ''' $k= \frac{e^{-x}}{1} = \frac{e^{-2x}}{e^{-x}} = e^{-x} | |||
$ | |||
== | |||
''' 2) ''' $S = \frac{a_1}{1-k} = \frac{1}{1-e^{-x}} = \frac {e^x}{e^x -1}$ | |||
== Oppgave 2 == | |||
=== a) === | === a) === | ||
Linje 50: | Linje 52: | ||
== Oppgave 3 == | == Oppgave 3 == | ||
=== a) === | === a) === | ||
Linje 63: | Linje 67: | ||
Man slutter av dette at formelen gjelder for alle naturlige tall. | Man slutter av dette at formelen gjelder for alle naturlige tall. | ||
= | = Del 2 = | ||
== Oppgave 4 == | |||
=== a) === | === a) === | ||
$ f(t) = 19 -4cos(\frac{\pi \cdot t}{180}) \ f(85) = 19 -4cos(\frac{\pi \cdot 85}{180}) = 18,65 $ | |||
<p></p> Det begynner å mørkne kl. 18:39 på kvelden den 25. mars, i følge modellen. | <p></p> Det begynner å mørkne kl. 18:39 på kvelden den 25. mars, i følge modellen. | ||
Definerer 1. januar som dag 1. (kan også definere den som dag 0) | Definerer 1. januar som dag 1. (kan også definere den som dag 0) | ||
=== b) === | === b) === | ||
[[Fil:2012-r2-4b.png]] | [[Fil:2012-r2-4b.png]] | ||
<p></p> Likevektslinjen er 19.<p></p> Amplitude: Den største verdi f kan ha er 23, da er amplituden 4. Det kan leses fra funksjonsuttrykket, absoluttverdien av faktoren i "cosinus" leddet. | <p></p> Likevektslinjen er 19.<p></p> Amplitude: Den største verdi f kan ha er 23, da er amplituden 4. Det kan leses fra funksjonsuttrykket, absoluttverdien av faktoren i "cosinus" leddet. | ||
<p></p> | <p></p> | ||
Perioden er 360. | Perioden er $360$. | ||
<p></p> Det gjennomsnittlige tidspunkt når lyset slåes på, gjennom hele året, er kl. 19:00. | <p></p> Det gjennomsnittlige tidspunkt når lyset slåes på, gjennom hele året, er kl. 19:00. | ||
=== c) === | === c) === | ||
Dette kan leses direkte fra grafen. Man observerer at det er to løsninger. Man kan også regne det ut: | Dette kan leses direkte fra grafen. Man observerer at det er to løsninger. Man kan også regne det ut: | ||
<p></p> | <p></p> |
Sideversjonen fra 22. apr. 2013 kl. 01:50
Del 1
Oppgave 1
a)
1)
2)
3)
b)
c)
d)
e)
1)
2)
Oppgave 2
a)
b)
c)
Oppgave 3
a)
b)
c)
Formelen stemmer for
Setter
Man slutter av dette at formelen gjelder for alle naturlige tall.
Del 2
Oppgave 4
a)
Det begynner å mørkne kl. 18:39 på kvelden den 25. mars, i følge modellen.
Definerer 1. januar som dag 1. (kan også definere den som dag 0)
b)
Likevektslinjen er 19.
Amplitude: Den største verdi f kan ha er 23, da er amplituden 4. Det kan leses fra funksjonsuttrykket, absoluttverdien av faktoren i "cosinus" leddet.
Perioden er
Det gjennomsnittlige tidspunkt når lyset slåes på, gjennom hele året, er kl. 19:00.
c)
Dette kan leses direkte fra grafen. Man observerer at det er to løsninger. Man kan også regne det ut:
Lyset slåes på kl. 18:00 16 mars og 16 september.
d)
Oppgave 5
a)
b)
c)
d)
største synsvinkel:
Oppgave 6
a)
b)
Ved tiden x = 0:
Farten til båten ved x = 3:
c)
Båten har forflyttet seg ca. 46 meter på 3 sekunder.