R2 2012 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Plutarco (diskusjon | bidrag)
Plutarco (diskusjon | bidrag)
Ingen redigeringsforklaring
Linje 1: Linje 1:
= Del 1 =
== Oppgave 1 ==
=== a) ===


== '''DEL EN''' ==


''' 1) ''' f(x)=3sin2xu=2x,u=2f(x)=23cos2xf(x)=6cos2x




== Oppgave 1 ==


''' 2) ''' g(x)=x2sinxu=x2,v=sinxg(x)=2xsinx+x2cosx=x(2sinx+xcosx)


=== a) ===


==== 1) ====


$ f(x) = 3sin(2x)\
''' 3) ''' $k(x) = 5\cos(\frac{\pi}{12}x-2)+7 \ k'(x) = - \frac{5\pi}{12} \sin(\frac{\pi}{13}x-2)$
u=2x, \quad u' = 2 \ f'(x) = 2 \cdot 3 cos(2x) \ f'(x) = 6cos(2x)$


==== 2) ====
g(x)=x2sinxu=x2,v=sinxg(x)=2xsinx+x2cosx=x(2sinx+xcosx)


==== 3) ====
k(x)=5cos(π12x2)+7k(x)=5π12sin(π13x2)


=== b) ===
=== b) ===
$\int xe^{2x}dx = \frac 12 x e^{2x} - \int \frac12 e^{2x}dx \ = \frac 12 x e^{2x} - \frac 14 e^{2x} +C \ = \frac 14 e^{2x}(2x-1) + C$
 
 
$\int xe^{2x}dx = \frac12 x e^{2x} - \int \frac12 e^{2x}dx \ = \frac 12 x e^{2x} - \frac 14 e^{2x} +C \ = \frac 14 e^{2x}(2x-1) + C$
 
 


=== c) ===
=== c) ===
$\int^7_3 \frac{2x}{x^2-4}dx \ \frac{2x}{x^2+4} = \frac{A}{x-2}+ \frac{B}{x-2} \ 2x= A(x+2) + B(x-2) \ x=2 \Rightarrow A = 1 \ x= -2 \Rightarrow B=1 \ \int^7_3 \frac{2x}{x^2-4}dx =\int^7_3 \frac{1}{x-2}dx  + \int^7_3 \frac {1}{x+2}dx \ = [ln|x-2|]^7_3 + [ln|x+2|]^7_3 \ = ln5-ln1+ln9-ln5 = ln3^2 = 2ln3$
 
$\int^7_3 \frac{2x}{x^2-4}dx \ \frac{2x}{x^2+4} = \frac{A}{x-2}+ \frac{B}{x-2} \ 2x= A(x+2) + B(x-2) \ x=2 \Rightarrow A = 1 \ x= -2 \Rightarrow B=1 \ \int^7_3 \frac{2x}{x^2-4}dx =\int^7_3 \frac{1}{x-2}dx  + \int^7_3 \frac {1}{x+2}dx \ = [\ln|x-2|]^7_3 + [\ln|x+2|]^7_3 \ = \ln5-\ln1+\ln9-\ln5 = \ln3^2 = 2\ln3$


=== d) ===
=== d) ===
$y' -2y = 3 \ y' \cdot e^{-2x}-2ye^{-2x} = 3e^{-2x} \ (ye^{-2x})' =3e^{-2x} \ ye^{-2x} = - \frac 32 e^{-2x} + C \ y = - \frac 32 +Ce^{2x} \y(o) = 8 \Rightarrow 8 = - \frac 32 + C \Rightarrow C = \frac{19}{2} \ y = - \frac 32 + \frac{19}{2}e^{2x}$
 
$y' -2y = 3 \ y' \cdot e^{-2x}-2ye^{-2x} = 3e^{-2x} \ (ye^{-2x})' =3e^{-2x} \ ye^{-2x} = - \frac 32 e^{-2x} + C \ y = - \frac 32 +Ce^{2x} \y(0) = 8 \Rightarrow 8 = - \frac 32 + C \Rightarrow C = \frac{19}{2} \ y = - \frac 32 + \frac{19}{2}e^{2x}$


=== e) ===
=== e) ===
Linje 33: Linje 38:
1+ex+e2x+....x>0
1+ex+e2x+....x>0


==== 1) ====
k=ex1=e2xex=ex
<p></p> 1<ex<1
Dvs: rekken konvergerer.


==== 2) ====
''' 1) ''' $k= \frac{e^{-x}}{1} = \frac{e^{-2x}}{e^{-x}} = e^{-x}<p></p> -1 < e^{-x}<1 $ Dvs: rekken konvergerer.
$S = \frac{a_1}{1-k} = \frac{1}{1-e^{-x}} = \frac {e^x}{e^x -1}$


== Oppgave 2 ==
 
''' 2) ''' $S = \frac{a_1}{1-k} = \frac{1}{1-e^{-x}} = \frac {e^x}{e^x -1}$




== Oppgave 2 ==


=== a) ===
=== a) ===
Linje 50: Linje 52:


== Oppgave 3 ==
== Oppgave 3 ==
f(x)=xex
f(x)=xex


=== a) ===
=== a) ===
f(x)=ex+xex=(x+1)exf´´(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex  
f(x)=ex+xex=(x+1)exf´´(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex  


Linje 63: Linje 67:
Man slutter av dette at formelen gjelder for alle naturlige tall.
Man slutter av dette at formelen gjelder for alle naturlige tall.


== '''DEL TO''' ==
= Del 2 =


== Oppgave 4 ==


== Oppgave 4 ==
=== a) ===
=== a) ===
<math> f(t) = 19 -4cos(\frac{\pi \cdot t}{180}) \ f(85) = 19 -4cos(\frac{\pi \cdot 85}{180}) = 18,65 </math>
 
$ f(t) = 19 -4cos(\frac{\pi \cdot t}{180}) \ f(85) = 19 -4cos(\frac{\pi \cdot 85}{180}) = 18,65 $
<p></p> Det begynner å mørkne kl. 18:39 på kvelden den 25. mars, i følge modellen.
<p></p> Det begynner å mørkne kl. 18:39 på kvelden den 25. mars, i følge modellen.
Definerer 1. januar som dag 1. (kan også definere den som dag 0)
Definerer 1. januar som dag 1. (kan også definere den som dag 0)


=== b) ===
=== b) ===
[[Fil:2012-r2-4b.png]]
[[Fil:2012-r2-4b.png]]
<p></p> Likevektslinjen er 19.<p></p> Amplitude: Den største verdi f kan ha er 23, da er amplituden 4. Det kan leses fra funksjonsuttrykket, absoluttverdien av faktoren i "cosinus" leddet.
<p></p> Likevektslinjen er 19.<p></p> Amplitude: Den største verdi f kan ha er 23, da er amplituden 4. Det kan leses fra funksjonsuttrykket, absoluttverdien av faktoren i "cosinus" leddet.
<p></p>
<p></p>
Perioden er 360.
Perioden er $360$.
<p></p> Det gjennomsnittlige tidspunkt når lyset slåes på, gjennom hele året, er kl. 19:00.
<p></p> Det gjennomsnittlige tidspunkt når lyset slåes på, gjennom hele året, er kl. 19:00.


=== c) ===
=== c) ===
Dette kan leses direkte fra grafen. Man observerer at det er to løsninger. Man kan også regne det ut:
Dette kan leses direkte fra grafen. Man observerer at det er to løsninger. Man kan også regne det ut:
<p></p>
<p></p>

Sideversjonen fra 22. apr. 2013 kl. 01:50

Del 1

Oppgave 1

a)

1) f(x)=3sin2xu=2x,u=2f(x)=23cos2xf(x)=6cos2x


2) g(x)=x2sinxu=x2,v=sinxg(x)=2xsinx+x2cosx=x(2sinx+xcosx)


3) k(x)=5cos(π12x2)+7k(x)=5π12sin(π13x2)


b)

xe2xdx=12xe2x12e2xdx=12xe2x14e2x+C=14e2x(2x1)+C


c)

372xx24dx2xx2+4=Ax2+Bx22x=A(x+2)+B(x2)x=2A=1x=2B=1372xx24dx=371x2dx+371x+2dx=[ln|x2|]37+[ln|x+2|]37=ln5ln1+ln9ln5=ln32=2ln3

d)

y2y=3ye2x2ye2x=3e2x(ye2x)=3e2xye2x=32e2x+Cy=32+Ce2xy(0)=88=32+CC=192y=32+192e2x

e)

1+ex+e2x+....x>0


1) k=ex1=e2xex=ex

1<ex<1 Dvs: rekken konvergerer.


2) S=a11k=11ex=exex1


Oppgave 2

a)

b)

c)

Oppgave 3

f(x)=xex

a)

f(x)=ex+xex=(x+1)exf´´(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex

b)

c)

f(n)(x)=(x+n)exn=1:f(x)=ex+xex=(1+x)ex

Formelen stemmer for n=1.

Setter n=k og undersøker om formelen stemmer for k+1:

f(k+1)=((x+k)ex)=(x+k)ex+(x+k)(ex)=(x+k+1)ex

Man slutter av dette at formelen gjelder for alle naturlige tall.

Del 2

Oppgave 4

a)

f(t)=194cos(πt180)f(85)=194cos(π85180)=18,65

Det begynner å mørkne kl. 18:39 på kvelden den 25. mars, i følge modellen.

Definerer 1. januar som dag 1. (kan også definere den som dag 0)

b)

Likevektslinjen er 19.

Amplitude: Den største verdi f kan ha er 23, da er amplituden 4. Det kan leses fra funksjonsuttrykket, absoluttverdien av faktoren i "cosinus" leddet.

Perioden er 360.

Det gjennomsnittlige tidspunkt når lyset slåes på, gjennom hele året, er kl. 19:00.

c)

Dette kan leses direkte fra grafen. Man observerer at det er to løsninger. Man kan også regne det ut:

f(t)=18194cos(πt180)=18t=76t=256

Lyset slåes på kl. 18:00 16 mars og 16 september.

d)

Oppgave 5

a)

tan(uv)=sin(uv)cos(uv)=sinucosvcosusinvcosucosv+sinusinv=sinucosvcosucosvcosusinvcosucosvcosucosvcosucosv+sinusinvcosucosv=tanutanv1tanutanv

b)

f(x)=tan(α)=tan(uv)=tanutanv1tanutanv=4x1x1+4x1x=4xxx2+4=3xx2+4

c)

f(x)=3(x2+4)3x2x(x2+4)2=123x2(x2+4)2f(x)=0123x2=0x=2f(2)=34

d)

største synsvinkel:

34=tan(α)α=36,9

Oppgave 6

a)

v0=25m/syfartyakslerasjony=ky2Bestemmerk:12=k252k=0,02dydx=0,02y2y2dy=0,02dxy1=0,02x+cy=10,02x+c

b)

Ved tiden x = 0:

y=1C25=1Cc=0,04

Farten til båten ved x = 3:

y(3)=10,06+0,04=10m/s

c)

Båten har forflyttet seg ca. 46 meter på 3 sekunder.

Oppgave 7

Oppgave 8