R2 2012 vår LØSNING

Del 1

Oppgave 1

a)

1) $$\begin{gathered} f(x)=3\sin 2x \\ u=2x,u^{\prime }=2 \\ {f}^{\prime }(x)=2\cdot 3\cos 2x \\ {f}^{\prime }(x)=6\cos 2x \end{gathered}$$

2) $$\begin{gathered} g(x)=x^2\sin x \\ u=x^2,v=\sin x \\ {g}^{\prime }(x)=2x\sin x+x^2\cos x=x(2\sin x+x\cos x) \end{gathered}$$

3) $$\begin{gathered} k(x)=5\cos (\frac{\pi }{12}x-2)+7 \\ {k}^{\prime }(x)=-\frac{5\pi }{12}\sin (\frac{\pi }{13}x-2) \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \int x{e}^{2x}dx=\frac{1}{2}x{e}^{2x}-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}dx \\ =\frac{1}{2}x{e}^{2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}+C \\ =\frac{1}{4}{e}^{2x}(2x-1)+C \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} {\int }_3^7\frac{2x}{x^2-4}dx \\ \frac{2x}{x^2+4}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-2} \\ 2x=A(x+2)+B(x-2) \\ x=2\Rightarrow A=1 \\ x=-2\Rightarrow B=1 \\ {\int }_3^7\frac{2x}{x^2-4}dx={\int }_3^7\frac{1}{x-2}dx+{\int }_3^7\frac{1}{x+2}dx \\ =[\ln |x-2|{]}_3^7+[\ln |x+2|{]}_3^7 \\ =\ln 5-\ln 1+\ln 9-\ln 5=\ln 3^2=2\ln 3 \end{gathered}$$

d)

$$\begin{gathered} y^{\prime }-2y=3 \\ {y}^{\prime }\cdot e^{-2x}-2y{e}^{-2x}=3e^{-2x} \\ (y{e}^{-2x}{)}^{\prime }=3e^{-2x} \\ y{e}^{-2x}=-\frac{3}{2}{e}^{-2x}+C \\ y=-\frac{3}{2}+C{e}^{2x} \\ y(0)=8\Rightarrow 8=-\frac{3}{2}+C\Rightarrow C=\frac{19}{2} \\ y=-\frac{3}{2}+\frac{19}{2}{e}^{2x} \end{gathered}$$

e)

$1+e^{-x}+e^{-2x}+....x>0$

1) $k=\frac{e^{-x}}{1}=\frac{e^{-2x}}{e^{-x}}=e^{-x}$

$-1<e^{-x}<1$ Dvs: rekken konvergerer.

2) $S=\frac{a_1}{1-k}=\frac{1}{1-e^{-x}}=\frac{e^x}{e^x-1}$

Oppgave 3

$f(x)=x\cdot e^x$

a)

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x=(x+1)e^x \\ f´´(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} f^{(n)}(x)=(x+n)e^x \\ n=1:f^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x=(1+x)e^x \end{gathered}$$

Formelen stemmer for $n=1$.

Setter $n=k$ og undersøker om formelen stemmer for $k+1$:

$f^{(k+1)}=((x+k)e^x{)}^{\prime }=(x+k{)}^{\prime }{e}^x+(x+k)(e^x{)}^{\prime }=(x+k+1)e^x$

Man slutter av dette at formelen gjelder for alle naturlige tall.

Del 2

Oppgave 4

a)

$$\begin{gathered} f(t)=19-4\cos (\frac{\pi \cdot t}{180}) \\ f(85)=19-4\cos (\frac{\pi \cdot 85}{180})=18,65 \end{gathered}$$

Det begynner å mørkne kl. 18:39 på kvelden den 25. mars, i følge modellen.

Definerer 1. januar som dag 1. (kan også definere den som dag 0)

b)

Likevektslinjen er 19.

Amplitude: Den største verdi f kan ha er 23, da er amplituden 4. Det kan leses fra funksjonsuttrykket, absoluttverdien av faktoren i "cosinus" leddet.

Perioden er $360$.

Det gjennomsnittlige tidspunkt når lyset slåes på, gjennom hele året, er kl. 19:00.

c)

Dette kan leses direkte fra grafen. Man observerer at det er to løsninger. Man kan også regne det ut:

$$\begin{gathered} f(t)=18 \\ 19-4\cos (\frac{\pi \cdot t}{180})=18 \\ t=76\vee t=256 \end{gathered}$$

Lyset slåes på kl. 18:00 16 mars og 16 september.

Oppgave 5

a)

$$\begin{gathered} \tan (u-v)=\frac{\sin (u-v)}{\cos (u-v)} \\ =\frac{\sin u\cdot \cos v-\cos u\cdot \sin v}{\cos u\cdot \cos v+\sin u\cdot \sin v} \\ =\frac{\frac{\sin u\cdot \cos v}{\cos u\cdot \cos v}-\frac{\cos u\cdot \sin v}{\cos u\cdot \cos v}}{\frac{\cos u\cdot \cos v}{\cos u\cdot \cos v}+\frac{\sin u\cdot \sin v}{\cos u\cdot \cos v}} \\ =\frac{\tan u-\tan v}{1-\tan u\cdot \tan v} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} f(x)=\tan \alpha =\tan (u-v)=\frac{\tan u-\tan v}{1-\tan u\cdot \tan v} \\ =\frac{\frac{4}{x}-\frac{1}{x}}{1+\frac{4}{x}\cdot \frac{1}{x}}=\frac{4x-x}{x^2+4}=\frac{3x}{x^2+4} \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=\frac{3(x^2+4)-3x\cdot 2x}{(x^2+4{)}^2}=\frac{12-3x^2}{(x^2+4{)}^2} \\ {f}^{\prime }(x)=0\Rightarrow 12-3x^2=0 \\ x=2 \\ f(2)=\frac{3}{4} \end{gathered}$$

d)

Største synsvinkel:

$$\begin{gathered} \frac{3}{4}=\tan \alpha \\ \alpha =36,9^{\circ } \end{gathered}$$

Oppgave 6

a)

$$\begin{gathered} v_0=25\text{m/s} \\ y-\text{fart} \\ {y}^{\prime }-\text{akslerasjon} \\ {y}^{\prime }=k{y}^2 \\ \text{Bestemmer}k: \\ -12=k\cdot {25}^2 \\ k=0.02 \\ \frac{dy}{dx}=-0,02y^2 \\ \int y^{-2}dy=\int -0,02dx \\ -y^{-1}=-0,02x+c \\ y=\frac{1}{0,02x+c} \end{gathered}$$

b)

Ved tiden $x=0$:

$$\begin{gathered} y=\frac{1}{C} \\ 25=\frac{1}{C} \\ c=0.04 \end{gathered}$$

Farten til båten ved $x=3$:

$y(3)=\frac{1}{0.06+0.04}=10\text{m/s}$

c)

Båten har forflyttet seg ca. $46$ meter på $3$ sekunder.