Sideversjonen fra 22. apr. 2013 kl. 02:55

Del 1

Oppgave 1

a)

1) $f (x) = 3 \sin 2 x u = 2 x, u^{'} = 2 f^{'} (x) = 2 \cdot 3 \cos 2 x f^{'} (x) = 6 \cos 2 x$

2) $g (x) = x^{2} \sin x u = x^{2}, v = \sin x g^{'} (x) = 2 x \sin x + x^{2} \cos x = x (2 \sin x + x \cos x)$

3) $k (x) = 5 \cos (\frac{π}{12} x - 2) + 7 k^{'} (x) = - \frac{5 π}{12} \sin (\frac{π}{13} x - 2)$

b)

$\int x e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C = \frac{1}{4} e^{2 x} (2 x - 1) + C$

c)

$\int_{3}^{7} \frac{2 x}{x^{2} - 4} d x \frac{2 x}{x^{2} + 4} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 2} 2 x = A (x + 2) + B (x - 2) x = 2 \Rightarrow A = 1 x = - 2 \Rightarrow B = 1 \int_{3}^{7} \frac{2 x}{x^{2} - 4} d x = \int_{3}^{7} \frac{1}{x - 2} d x + \int_{3}^{7} \frac{1}{x + 2} d x = [\ln | x - 2 |]_{3}^{7} + [\ln | x + 2 |]_{3}^{7} = \ln 5 - \ln 1 + \ln 9 - \ln 5 = \ln 3^{2} = 2 \ln 3$

d)

$y^{'} - 2 y = 3 y^{'} \cdot e^{- 2 x} - 2 y e^{- 2 x} = 3 e^{- 2 x} (y e^{- 2 x})^{'} = 3 e^{- 2 x} y e^{- 2 x} = - \frac{3}{2} e^{- 2 x} + C y = - \frac{3}{2} + C e^{2 x} y (0) = 8 \Rightarrow 8 = - \frac{3}{2} + C \Rightarrow C = \frac{19}{2} y = - \frac{3}{2} + \frac{19}{2} e^{2 x}$

e)

$1 + e^{- x} + e^{- 2 x} + . . . . x > 0$

1) $k = \frac{e^{- x}}{1} = \frac{e^{- 2 x}}{e^{- x}} = e^{- x}$

$- 1 < e^{- x} < 1$ Dvs: rekken konvergerer.

2) $S = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{1}{1 - e^{- x}} = \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}$

Oppgave 2

a)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = [3, - 1, 2] \cdot [6, 4, 2] = 3 \cdot 6 - 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 18 - 4 + 4 = 18$

b)

$\vec{a} \times \vec{b} = [- 2 - 8, - (6 - 12), 12 + 6] = [- 10, 6, 18]$

c)

$\vec{a} - \vec{b} = [3, - 1, 2] - [6, 4, 2] = [- 3, - 5, 0]$ . Så $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = [- 3, - 5, 0] \cdot [3, - 1, 2] = - 9 + 5 = - 4$

Oppgave 3

$f (x) = x \cdot e^{x}$

a)

$f^{'} (x) = e^{x} + x e^{x} = (x + 1) e^{x} f ´ ´ (x) = e^{x} + (x + 1) e^{x} = (x + 2) e^{x}$

b)

Ekstremalpunkter er gitt ved å nullstille den deriverte, altså løse $f^{'} (x) = (x + 1) e^{x} = 0$ . Siden eksponentialfunksjonen aldri er $0$ , må $x + 1 = 0$ , som gir bunnpunkt i $x = - 1$ siden den dobbeltderiverte er positiv i $x = - 1$ . I bunnpunktet er $f (- 1) = 0$ . Vendepunkter finner vi fra nullpunktene til $f^{''} (x)$ , altså må vi løse $(x + 2) e^{x} = 0$ , som har løsning $x = - 2$ . Koordinatet til vendepunktet blir derfor $(- 2, f (- 2)) = (- 2, - e^{- 2})$ .

c)

$f^{(n)} (x) = (x + n) e^{x} n = 1 : f^{'} (x) = e^{x} + x e^{x} = (1 + x) e^{x}$

Formelen stemmer for $n = 1$ .

Setter $n = k$ og undersøker om formelen stemmer for $k + 1$ :

$f^{(k + 1)} = ((x + k) e^{x})^{'} = (x + k)^{'} e^{x} + (x + k) (e^{x})^{'} = (x + k + 1) e^{x}$

Man slutter av dette at formelen gjelder for alle naturlige tall.

Del 2

Oppgave 4

a)

$f (t) = 19 - 4 \cos (\frac{π \cdot t}{180}) f (85) = 19 - 4 \cos (\frac{π \cdot 85}{180}) = 18, 65$

Det begynner å mørkne kl. 18:39 på kvelden den 25. mars, i følge modellen.

Definerer 1. januar som dag 1. (kan også definere den som dag 0)

b)

Likevektslinjen er 19.

Amplitude: Den største verdi f kan ha er 23, da er amplituden 4. Det kan leses fra funksjonsuttrykket, absoluttverdien av faktoren i "cosinus" leddet.

Perioden er $360$ .

Det gjennomsnittlige tidspunkt når lyset slåes på, gjennom hele året, er kl. 19:00.

c)

Dette kan leses direkte fra grafen. Man observerer at det er to løsninger. Man kan også regne det ut:

$f (t) = 18 19 - 4 \cos (\frac{π \cdot t}{180}) = 18 t = 76 \lor t = 256$

Lyset slåes på kl. 18:00 16 mars og 16 september.

d)

Oppgave 5

a)

$\tan (u - v) = \frac{\sin (u - v)}{\cos (u - v)} = \frac{\sin u \cdot \cos v - \cos u \cdot \sin v}{\cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v} = \frac{\frac{\sin u \cdot \cos v}{\cos u \cdot \cos v} - \frac{\cos u \cdot \sin v}{\cos u \cdot \cos v}}{\frac{\cos u \cdot \cos v}{\cos u \cdot \cos v} + \frac{\sin u \cdot \sin v}{\cos u \cdot \cos v}} = \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \cdot \tan v}$

b)

$f (x) = \tan α = \tan (u - v) = \frac{\tan u - \tan v}{1 - \tan u \cdot \tan v} = \frac{\frac{4}{x} - \frac{1}{x}}{1 + \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{x}} = \frac{4 x - x}{x^{2} + 4} = \frac{3 x}{x^{2} + 4}$

c)

$f^{'} (x) = \frac{3 (x^{2} + 4) - 3 x \cdot 2 x}{(x^{2} + 4)^{2}} = \frac{12 - 3 x^{2}}{(x^{2} + 4)^{2}} f^{'} (x) = 0 \Rightarrow 12 - 3 x^{2} = 0 x = 2 f (2) = \frac{3}{4}$

d)

Største synsvinkel:

$\frac{3}{4} = \tan α α = 36, 9^{\circ}$

Oppgave 6

a)

$v_{0} = 25 m/s y - fart y^{'} - akslerasjon y^{'} = k y^{2} Bestemmer k : - 12 = k \cdot 25^{2} k = 0.02 \frac{d y}{d x} = - 0, 02 y^{2} \int y^{- 2} d y = \int - 0, 02 d x - y^{- 1} = - 0, 02 x + c y = \frac{1}{0, 02 x + c}$

b)

Ved tiden $x = 0$ :

$y = \frac{1}{C} 25 = \frac{1}{C} c = 0.04$

Farten til båten ved $x = 3$ :

$y (3) = \frac{1}{0.06 + 0.04} = 10 m/s$

c)

Båten har forflyttet seg ca. $46$ meter på $3$ sekunder.

Sideversjonen fra 22. apr. 2013 kl. 02:53 vis kilde Plutarco (diskusjon \| bidrag) 457 redigeringer →‎b) ← Forrige endring		Sideversjonen fra 22. apr. 2013 kl. 02:55 vis kilde Plutarco (diskusjon \| bidrag) 457 redigeringer →‎a) Neste endring →
Linje 111:		Linje 111:


	<math> \tan(u-v) = \frac{\sin(u-v)}{\cos(u-v)}\ = \frac{\sin u \cdot \cos v - \cos u\cdot \sin v }{\cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v} \ = \frac{ \frac {\sin u \cdot \cos v}{\cos u \cdot \cos v} - \frac {\cos u \cdot \sin v}{\cos u \cdot \cos v} }{ \frac {\cos u \cdot \cos v}{\cos u \cdot \cos v} + \frac{\sin u \cdot \sin v}{\cos u \cdot \cos v}} \ = \frac{\tan u - \tan v}{1 - \tan u \cdot \tan v}</math>		<math> \tan(u-v) = \frac{\sin(u-v)}{\cos(u-v)}\ = \frac{\sin u \cdot \cos v - \cos u\cdot \sin v }{\cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v} \ = \frac{ \frac {\sin u \cdot \cos v}{\cos u \cdot \cos v} - \frac {\cos u \cdot \sin v}{\cos u \cdot \cos v} }{ \frac {\cos u \cdot \cos v}{\cos u \cdot \cos v} + \frac{\sin u \cdot \sin v}{\cos u \cdot \cos v}} \ = \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \cdot \tan v}</math>


	=== b) ===		=== b) ===

R2 2012 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner