S2 2013 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Oppgave 1

a)

Benytter produktregelen:

$f^{\prime }(x)=x^{\prime }\cdot e^{2x}+x\cdot (e^{2x}{)}^{\prime }=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2e^{2x}=e^{2x}(1+2x).$

b)

Her bruker vi brøkregelen:

$\begin{array}{rcl}{g}^{\prime }(x)& =& \frac{(x-1{)}^{\prime }(x^2-3)-(x-1)(x^2-3{)}^{\prime }}{(x^2-3{)}^2}=\frac{1\cdot (x^2-3)-(x-1)\cdot 2x}{(x^2-3{)}^2}\\ & =& \frac{x^2-3-2x^2+2x}{(x^2-3{)}^2}=\frac{-x^2+2x-3}{(x^2-3{)}^2}=-\frac{x^2-2x+3}{(x^2-3{)}^2}\end{array}.$

Oppgave 2

I denne oppgaven får vi bruk for at divisjonen $p(x):(x-a)$ går opp dersom $p(a)=0$.

a)

Hvis divisjonen skal gå opp så må vi få 0 når vi setter 3 inn i polynomet, det vil si at

$3^2-2\cdot 3+a=0\iff 3+a=0\iff a=-3.$

b)

Her må $x-b$ være en faktor i polynomet. Faktoriserer vi $x^2-3x-4$, f.eks. med ABC-formelen, får vi at

$x^2-3x-4=(x+1)(x-4).$

Da må $x-b=x+1$ eller $x-b=x-4$, som gir at $b=-1$ eller $b=4$. En annen måte å løse oppgaven på er å, igjen, si at når vi setter inn $b$ i polynomet $x^2-3x-4$, så får vi 0. Da får vi:

$b^2-3b-4=0,$

og løser vi denne får vi de samme verdiene for $b$.