Løsning del 1 utrinn Vår 14

Oppgaven som pdf

Oppgave 1

a) $831+1196=2027$

b) $987-789=198$

c) $14,2\cdot 3,1=44,02$

d) $1620:120=\frac{1620}{120}=\frac{162}{12}=13,5$

Oppgave 2

a) $3,25\mathrm{h}=3\cdot 60\min +0,25\cdot 60\min =180\min +15\min =195\min$

b) $9,3\mathrm{t}=9,3\cdot 1000\mathrm{kg}=9300\mathrm{kg}$

c) $2400{\mathrm{cm}}^3=2400\mathrm{mL}=2,4\mathrm{L}$

d) $36\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{36}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Oppgave 3

a) $62000=6,2\cdot {10}^4$

b) $((-3{)}^2{)}^2-3^0=9^2-1=81-1=80$

Oppgave 4

a) $\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{1+2}{5}=\frac{3}{5}$

b) $\frac{5}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}-\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac{15}{6}-\frac{4}{6}=\frac{15-4}{6}=\frac{11}{6}$

c) $\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{4}=\frac{1\cdot 2}{4\cdot 4}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$

d) $4:\frac{2}{3}=4\cdot \frac{3}{2}=\frac{12}{2}=6$

Oppgave 5

a)

$3x=x+8$

$3x-x=x+8-x$

$2x=8$

$x=\frac{8}{2}=4$

b)

$(x+2{)}^2=x^2+6$

$x^2+4x+4=x^2+6$

$4x+4=6$

$4x=6-4$

$x=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Oppgave 6

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: $130\mathrm{Kr}\cdot 1,25=162,50\mathrm{Kr}$. Fire timers arbeid blir $4\cdot 162,5\mathrm{Kr}=650\mathrm{Kr}$.

Oppgave 7

a) $\frac{6a^3}{2a^2}=\frac{2\cdot 3\cdot a\cdot a\cdot a}{2\cdot a\cdot a}=3a$

b) $\frac{6a-6}{12b^2}:\frac{a-1}{4b^3}=\frac{6(a-1)}{12b^2}\cdot \frac{4b^3}{a-1}=\frac{24\cdot b\cdot b\cdot b}{12\cdot b\cdot b}=2b$

Oppgave 8

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er tre rød. Det gir sannsynligheten $P$(trekke rød kule)$=\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=60\mathrm{\%}$.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten $P$ regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten $P$ (trekke enda en rød kule) $=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; $P$(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) $=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{10}=30\mathrm{\%}$.

Oppgave 9

Setter prisen på ett skolebrød lik $S$ og prisen på én vannflaske lik $V$. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): $85=2S+3V$

(2): $55=2S+V$

METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):

Trekk likning (2) fra likning (1):

$85-55=2S+3V-(2S+V)$.

$30=3V-V$

$\frac{30}{2}=V$

$V=15$

Setter $V=15$ inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner $S$:

$55=2S+15$

$40=2S$

$S=20$ og $V=15$

METODE 2: INNSETTINGSMETODE

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

$V=55-2S$

Erstatter $V$ i likning (1):

$85=2S+3(55-2S)$

$85=2S+165-6S$

$6S-2S=165-85$

$4S=80$

$S=\frac{80}{4}=20$

Setter inn denne verdien for $S$ i likning (2) og finner $V$:

$55=2\cdot 20+V$

$V=15$ og $S=20$

Oppgave 10

$\frac{2\mathrm{cm}}{100\mathrm{km}}=\frac{0,02\mathrm{m}}{100.000\mathrm{m}}=\frac{100\cdot 0,02}{100\cdot 100.000}=\frac{2}{10.000.000}=\frac{1}{5.000.000}$

Oppgave 11

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; $10\min \cdot 100=1000\min =\frac{1000}{60}\mathrm{h}=16\mathrm{h}+40\min$.

Oppgave 12

a) $S=\frac{3F+5}{2}=\frac{3\cdot 25+5}{2}=\frac{80}{2}=40$

b) Vi skal finne $F$, og kan da sette $S=37$ rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for $F$:

$S=\frac{3F+5}{2}$

$2S=3F+5$

$2S-5=3F$

$F=\frac{2S-5}{3}=\frac{2\cdot 37-5}{3}\mathrm{cm}=\frac{74-5}{3}\mathrm{cm}=\frac{69}{3}\mathrm{cm}=23\mathrm{cm}$

Oppgave 13

a)

x	f(x)	Koordinater (x,y)
0	-1	(0,-1)
1	1	(1,1)
2	3	(2,3)
3	5	(3,5)

x	g(x)	Koordinater (x,y)
1	6	(1,6)
2	3	(2,3)
3	2	(3,2)
4	1,5	(4, 1,5)
5	1,2	(5, 1,2)

b)

c) Leser av grafen over og ser at skjæringspunktet er $S(2,3)$. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette $f=g$, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater $S(-1.5,-4)$, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

Oppgave 14

Avsett et linjestykke AB=7 cm. Lag en sirkel (rød på figuren under) med sentrum i A og radius 7 cm. Lag en tilsvarende sirkel i B (med samme radius, også rød på figuren). Skjæringspunktet mellom sirklene er punktet C. Trekk linjene AC og BC.

Konstruer midtnormalene på sidene i trekanten (blå på figuren under). Slå en sirkel (grønn på figuren under) om skjæringspunktet S med radius lik avstanden fra S til et av hjørnene. Sirkelen skjærer da gjennom alle hjørnene.

For å konstruere en tangent (rosa på figuren under) til sirkelen i C, konstruerer du en 90 graders vinkel i C på midtnormalen til AB.

Jeg har konstruert i Geogebra, men du må gjøre med passer for hånd.

PS: Der det i oppgaveteksten står "En sirkel går gjennom punktene i $\mathrm{\Delta }ABC$", må de mene at sirkelen skjærer gjennom alle hjørnene til trekanten.

Oppgave 15

a) Pytagoras gir;

$(AB{)}^2=(6\mathrm{m}{)}^2+(8\mathrm{m}{)}^2$

$AB=\sqrt{36{\mathrm{m}}^2+64{\mathrm{m}}^2}=\sqrt{100{\mathrm{m}}^2}=10\mathrm{m}$

b) Ettersom $BD$ er 4 ganger så lang som $CE$, er $AD$ 4 gnager så lang som $BE$. Vi får

$4BE=AD$

$BE=\frac{AD}{4}=\frac{6\mathrm{m}}{4}=1,5\mathrm{m}$

Oppgave 16

METODE 1:

Arealet $T$ er gitt ved sidelengde gange sidelengde:

$T=(a-2+4)\cdot (a-2+4)=(a+2)\cdot (a+2)=a^2+4a+4$

METODE 2:

Arealet $T$ av det store kvadratet er også lik summen av de fire mindre firkantene:

$T=(a-2{)}^2+2\cdot 4(a-2)+4^2=(a^2-4a+4)+(8a-16)+16=a^2+4a+4$