S1 2014 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner
Linje 175: | Linje 175: | ||
=Del 2= | =Del 2= | ||
==Oppgave 1)== | |||
===a)=== | |||
\begin{align*} | |||
V=0.009x + 0.048y | |||
\end{align*} | |||
Setter inn i likingen for | |||
\begin{align*} | |||
V=0.009\frac{kWh}{m^2} \cdot 100m^2 + 0.048\frac{kWh}{m^2} \cdot 20m^2 | |||
\end{align*} | |||
Løser denne på kalkulator: | |||
\begin{align*} | |||
V=1.86 kWh | |||
\end{align*} | |||
For å få varmetap per time deler vi da på antall timer | |||
===b)=== | |||
\begin{align*} | |||
x+y &= 120\ | |||
0.009 \cdot x + 0.048 \cdot y &= 2 | |||
\end{align*} | |||
Løser også denne på kalkulator og får | |||
\begin{align*} | |||
x &\approx 96.4 \ | |||
y &\approx 23.6\ | |||
\end{align*} | |||
For at det totale varmetapet skal være | |||
==Oppgave 2== | |||
\begin{align*} | |||
f(x)=x^4-8x^2+16 \quad, D_f =\mathbb{R} | |||
\end{align*} | |||
===a)=== | |||
Skjærer y-aksen når | |||
\begin{align*} | |||
f(0)=0^4-8\cdot 0^2 +16 | |||
f(0)=16 | |||
\end{align*} | |||
$\underline{\underline{f(x) \text{skjærer y-aksen i} (0,16)$. | |||
===b)=== | |||
Faktoriserer uttrykket ved hjelp av 2. og 3. kvadratsetning. | |||
\begin{align*} | |||
f(x)&=x^4-8x^2+16\ | |||
f(x)&=(x^2-4)^2\ | |||
f(x)&=((x+2)(x-2))^2\ | |||
\end{align*} | |||
Ser at | |||
===c)=== | |||
\begin{align*} | |||
f'(x)&=4x^3-16x\ | |||
f'(x)&=4x(x^2-4)\ | |||
f'(x)&=4x(x+2)(x-2)\ | |||
\end{align*} | |||
\begin{align*} | |||
4x(x+2)(x-2)=0 | |||
\end{align*} | |||
==Oppgave 3== | |||
===a)=== | |||
Har at Arealet til området er | |||
\begin{align*} | |||
A=x\cdot y | |||
\end{align*} | |||
Videre kan vi skrive lengden av gjerdet som omkretsen av området minus 15 meter som består av steinmur | |||
\begin{align*} | |||
G(x)&=2y + x + (x-15)\ | |||
G(x)&=2y + 2x -15\ | |||
\end{align*} | |||
Vi får oppgitt at arealet av området er lik | |||
\begin{align*} | |||
625=x\cdot y\ | |||
y=\frac{625}{x} | |||
\end{align*} | |||
Denne kan vi igjen sette inn i uttrykket for | |||
\begin{align*} | |||
G(x)&=2\Big ( \frac{625}{x} \Big ) +2x -15\ | |||
G(x)&=\underline{\underline{ \frac{1250}{x} + 2x -15}}\ | |||
\end{align*} | |||
\newpage | |||
===b)=== | |||
[[File:S1V14V3c.png]] | |||
===c)=== | |||
Ser at grafen til funksjonen kun har ett bunnpunkt i det aktuelle intervallet | |||
\begin{align*} | |||
G'(x)&=-\frac{1250}{x^2}+2\ | |||
G'(x)&=-\frac{1250}{x^2} + \frac{2x^2}{x^2}\ | |||
G'(x)&=\frac{2x^2-1250}{x^2}\ | |||
G'(x)&=\frac{2(x+25))(x-25)}{x^2} = 0 | |||
\end{align*} | |||
Siden det er forutsatt at | |||
\begin{align*} | |||
x&=25\ | |||
y&=\frac{625}{25}\ | |||
y&=25 | |||
\end{align*} | |||
Kan da regne ut lengden av gjerdet som | |||
\begin{align*} | |||
G(25)&=\frac{1250}{25}+2\cdot 25 -15 \ | |||
G(25)&=85 | |||
\end{align*} | |||
Ser at begge sidene er like lange, altså har rektangelet blitt til et kvadrat og gjerdet er 85 meter langt. | |||
\newpage | |||
==Oppgave 4== | |||
I denne oppgaven er det en stor fordel å bruke sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra.\ | |||
Vi har et utvalg på | |||
Sannsynligheten for suksess i forsøkene er | |||
===a)=== | |||
[[File:S1V14-4a.png]] | |||
===b)=== | |||
[[File:S1V14-4b.png]] | |||
===c)=== | |||
Her er det enkleste å prøve seg frem i kalkulatoren til du finner et utvalg som er stort nok til at det er 95\% sannsynlighet for at minst 25 arbeider som lærer. Dette er en løsningsmetode som vil gi full uttelling i følge sensorveiledningen. | |||
[[File:S1V14-4c2]] | |||
Vi ser at | |||
==Oppgave 5== | |||
===a)=== | |||
Deriverer for å finne toppunkt. Har også her at | |||
\begin{align*} | |||
F'(x)&=-0.02x+0.3 = 0\ | |||
x&=15 | |||
\end{align*} | |||
Fortjenesten per enhet blir størst mulig dersom bedriften produserer 15 enheter.\\ | |||
===b)=== | |||
===c)=== | |||
\begin{align*} | |||
O(x)&=x\cdot F(x)\ | |||
O(x)&=x(-0.01x^2+0.3x+120)\ | |||
O(x)&=-0.01x^3+0.3x^2+120x\\ | |||
O'(x)&= -0.03x^2+0.6x+120 = 0 | |||
\end{align*} | |||
\begin{center} | |||
\end{center} | |||
\begin{align*} | |||
O(74)&= 6471 | |||
\end{align*} | |||
Bedriften kan ikke produsere et negativt antall enheter, dermed oppnår bedriften størst overskudd ved å produsere 74 enheter. Overskuddet er da på 6471 kroner.\ | |||
==Oppgave 6== | |||
===a)=== | |||
\begin{align*} | |||
0.35x + 0.20y &\leq 250\ | |||
0.15x + 0.40y &\leq 300\ | |||
x+y &\leq 900\ | |||
x &\geq 0 \ | |||
y &\geq 0 \ | |||
\end{align*} | |||
===b)=== | |||
[[File:S1V14-6b.png]] | |||
===c)=== | |||
Lager en fortjenestefunksjon, | |||
\begin{align*} | |||
f=8x+12y | |||
\end{align*} | |||
Denne tangerer området i punktet | |||
\begin{align*} | |||
f&=8\cdot 240 + 12 \cdot 660\ | |||
f&=9840 | |||
\end{align*} | |||
Fortjenesten hennes blir da 9840 kroner. | |||
\newpage | |||
==Oppgave 7== | |||
===a)=== | |||
\begin{align*} | |||
n^n \cdot \Big ( \frac{x}{n} \Big )^{\lg x} &= x^n\ | |||
\Big ( \frac{x}{n} \Big )^{\lg x} &= \frac{x^n}{n^n}\ | |||
\Big ( \frac{x}{n} \Big )^{\lg x} &= \Big (\frac{x}{n} \Big )^n\ | |||
\lg \Big ( \frac{x}{n} \Big )^{\lg x} &= \lg \Big (\frac{x}{n} \Big )^n\ | |||
\end{align*} | |||
===b)=== | |||
\begin{align*} | |||
\lg \Big ( \frac{x}{n} \Big )^{\lg x} &= \lg \Big (\frac{x}{n} \Big )^n\ | |||
\lg x^{\lg x} -\lg n^{\lg x}&= n \lg x - n\lg n\ | |||
\lg x (\lg x - \lg n ) &= n(\lg x - \lg n)\ | |||
\lg x (\lg x - \lg n) -n(\lg x - lg n) &= 0 | |||
\end{align*} | |||
\begin{center} | |||
Trekker ut | |||
\end{center} | |||
\begin{align*} | |||
(\lg x - n)(\lg x - \lg n) = 0 | |||
\end{align*} | |||
===c)=== | |||
Likningen er kun oppfylt dersom én av faktorene er lik null. Dette gir: | |||
\begin{align*} | |||
\lg x - n &= 0\ | |||
\lg x &= n\ | |||
x &= \underline{\underline{10^n}} | |||
\end{align*} | |||
eller | |||
\begin{align*} | |||
\lg x - \lg n &= 0\ | |||
\lg x &= \lg n \ | |||
x &= \underline{\underline{n}} | |||
\end{align*} | |||
\end{document} |
Sideversjonen fra 1. jun. 2014 kl. 20:52
Løsningsforslag som pdf laget av mattepratbruker Christianac
Diskusjon av denne oppgaven på matteprat
Del 1
Oppgave 1
a)
b)
Oppgave 2
Oppgave 3
a)
b)
Oppgave 4
a)
Får oppgitt at funksjonen skjærer y-aksen i
Får videre oppgitt at funksjonen skjærer x-aksen i
c)
Oppgave 5
a)
Et tall inne i Pascals trekant er alltid summen av de to tallene som står ovenfor. Dette gir følgende likningssett:
b)
Observerer mønsteret:
c)
Skal fylle ut tabellen med sannsynligheten for
På hvilke måter kan
\begin{center} \begin{tabular}{ | l | c | c | c | r |}
\hline k & 3 & 2 & 1 & 0 \\ \hline P(X=k) & $a^3$ & $3a^2b$ & $3ab^2$ & $b^3$ \\ \hline
\end{tabular} \end{center}
Oppgave 6
a)
b)
Har et uttrykk på formen
Med
c)
Det er oppgitt at overskuddet er størst når bedriften produserer og selger 2000 enheter. Vi kan dermed anta at
Oppgave 7
Har at definisjonen av den deriverte er:
Del 2
Oppgave 1)
a)
Setter inn i likingen for
b)
Oppgave 2
a)
Skjærer y-aksen når
b)
Faktoriserer uttrykket ved hjelp av 2. og 3. kvadratsetning.
c)
Oppgave 3
a)
Har at Arealet til området er
b)
c)
Ser at grafen til funksjonen kun har ett bunnpunkt i det aktuelle intervallet
Oppgave 4
I denne oppgaven er det en stor fordel å bruke sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra.\
Vi har et utvalg på
a)
b)
c)
Her er det enkleste å prøve seg frem i kalkulatoren til du finner et utvalg som er stort nok til at det er 95\% sannsynlighet for at minst 25 arbeider som lærer. Dette er en løsningsmetode som vil gi full uttelling i følge sensorveiledningen.
Vi ser at
Oppgave 5
a)
Deriverer for å finne toppunkt. Har også her at
b)
c)
Oppgave 6
a)
b)
c)
Lager en fortjenestefunksjon,
Oppgave 7
a)
b)
c)
Likningen er kun oppfylt dersom én av faktorene er lik null. Dette gir: