S1 2015 høst LØSNING

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} 2x^2-3x=0 \\ x(2x-3)=0 \\ x=0\vee x=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} 2^{3x+1}=4^{17} \\ {2}^{3x+1}=2^{34} \\ 3x+1=34 \\ x=11 \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} lg(2x+2)=3+lg2 \\ lg(2x+2)=lg(1000\cdot 2) \\ 2x=1998 \\ x=999 \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

$$\begin{gathered} \frac{8a^3(a^{-1}b{)}^2}{(2ab{)}^2}= \\ \frac{2^3{a}^3{a}^{-2}{b}^2}{2^2{a}^2{b}^2}= \\ {2}^{3-2}{a}^{3-2-2}{b}^{2-2}= \\ 2a^{-1}= \\ \frac{2}{a} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} (x+y)(x-y)+(y+x)(y-x)-(x+y)(x-y)= \\ {y}^2-x^2 \end{gathered}$$

Oppgave 3

$\left[\begin{array}{r}2x^2+x+y=7\\ 3x+y=-5\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{r}2x^2+x+y=7\\ y=-5-3x\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{r}2x^2+x+(-5-3x)=7\\ y=-5-3x\end{array}\right]$

Løser første likning og får to x verdier:

$$\begin{gathered} 2x^2-2x-12=0 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{4+96}}{4} \\ x=-2\vee x=3 \end{gathered}$$

Det gir følgende y verdier:

x =-2: y= - 5+6 =1

x = 3: y = - 14

Løsning; $(-2,1)\wedge (3,-14)$

Oppgave 4

$-3(x-2)(x+1)<0$

Fortegnsskjema:

$x\in <\leftarrow ,-1>\cup <2,\to >$

Oppgave 5

a)

$$\begin{gathered} f(x)=x^3-x^2-x+3 \\ f(0)=3 \\ f(2)=8-4-2+3=5 \end{gathered}$$

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet blir da $\frac{f(2)-f(0)}{2}=1$

b)

$$\begin{gathered} f´(x)=3x^2-2x-1 \\ f´(0)=-1 \end{gathered}$$

Siden den deriverte er negativ for x = 0, synker grafen til f.

c)

$$\begin{gathered} f´(x)=0 \\ 3x^2-2x-1=0 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{4+12}}{6} \\ x=1\vee x=-\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Fra b har vi at grafen synker for x = 0

X=1 gir da et minimum og x= $-\frac{1}{3}$ gir maksimum.

$$\begin{gathered} f(1)=1-1-1+3=2 \\ f(-\frac{1}{3})=3,19 \end{gathered}$$

Oppgave 6

a)

Skjæring med y akse:

$g(0)=-3$

Skjæring med y aksen er i -3, altså (0, -3).

Skjæring med x akse:

$$\begin{gathered} g(x)=0 \\ 2x-3=0 \\ x=\frac{3}{2} \end{gathered}$$,

altså $(\frac{3}{2},0)$

b)

Oppgave 7

a)

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

b)

Fra a gir det 10 mulige kombinasjoner.

c)

Colaflasken kan velges som nr 1, 2 eller 3:

$P(cola)=\frac{1}{5}\cdot 1\cdot 1+\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{4}\cdot 1+\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{5}=60$%

Oppgave 8

a)

x er dekar gullerøtter og y dekar poteter.

$x\ge 0$ Dersom man skal dyrke gullerøtter trenger man areale.

$y\ge 0$ Det samme gjelder for poteter.

Oppgave 9

$$\begin{gathered} 4^x-6\cdot 2^x+8=0 \\ (2^x{)}^2-6\cdot 2^x+8=0 \\ u=2^x \\ {u}^2-6u+8=0 \\ u=\frac{6\pm \sqrt{36-32}}{2} \\ u=2\vee u=4 \\ {2}^x=2\vee 2^x=8 \\ {2}^x=2\vee 2^x=2^3 \\ x=1\vee x=3 \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

$BMI=\frac{m}{h^2}=\frac{78}{1,{77}^2}=24,9$

b)

$$\begin{gathered} BMI=\frac{m}{h^2} \\ h=\sqrt{\frac{85}{28}}=1,74 \end{gathered}$$

Personen er 174 cm høy.

Oppgave 3

a)

Den prosentvise veksten blir 4,6, i følge modellen.

b)

Lønnen i 2015 blir ca 46 500 kr, i følge modellen.

c)

Se funksjon f i figuren i a.

d)

Funksjon d viser forskjellen mellom de to modellene. I 2012 vil forskjellen være ca. 10 000 kr.

Oppgave 4

a)

Areal:

$A=x\cdot f(x)=x\cdot \frac{5}{x^2+2}=\frac{5x}{x^2+2}$

b)

Tegner grafen i Geogebra og legger et glidende punkt på den. Ser da at det er to x verdier som gir oss areal lik en:

x= 0,44 og x= 4,59 gir rektangelet arealet lik 1.