R1 2015 vår LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag (pdf) fra bruker joes. Send gjerne en melding hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk.

Del 2, oppgave 2 (video)

Del 2, oppgave 5 (video)

Forhandssensur

Vurderingsskjema

Sensorveiledning

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} f(x)=x^3+2x^2-3x \\ f´(x)=3x^2+4x-3 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=ln(x-2) \\ g´(x)=\frac{1}{x-2} \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} h(x)=(2x^2-1{)}^3 \\ h´(x)=3(2x^2-1{)}^2\cdot 4x=12x(2x^2-1{)}^2 \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

$$\begin{gathered} P(x)=x^3+2x^2-5x-6 \\ P(2)=8+8-10-6=0 \end{gathered}$$

Altså er polynomet delelig med x - 2.

b)

$$\begin{gathered} x^3+2x^2-5x-6:(x-2)=x^2+4x+3 \\ -(x^3-2x^2) \\ 4x^2-5x \\ -(4x^2-8x) \\ 3x-6 \\ -(3x-6) \end{gathered}$$

Løser $x^2+4x+3=0$ og får

P(x) = ( x - 2)( x + 1)(x + 3)

Oppgave 3

$$\begin{gathered} \frac{x-2}{x^2+2x}+\frac{2}{x}+\frac{x+2}{x^2-2x}-\frac{3x}{x^2-4}= \\ \frac{(x-2)(x-2)+2((x+2)(x-2)+(x+2)(x+2)-3x^2}{x(x+2)(x-2)}= \\ \frac{x^2-4x+4+2x^2-8+x^2+4x+4-3x^2}{x(x+2)(x-2)}= \\ \frac{x^2}{x(x+2)(x-2)} \\ \frac{x}{(x+2)(x-2)} \end{gathered}$$

Oppgave 4

$$\begin{gathered} x^2-2x+y^2+4y-20=0 \\ (x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)-25=0 \\ (x-1{)}^2+(y+2{)}^2=5^2 \end{gathered}$$

Sirkelen har radius 5, med sentrum i punktet (1, -2).

Oppgave 5

a)

$\overrightarrow{u}\parallel \overrightarrow{v}\Rightarrow \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$

I tilleg må vi skifte fortegn siden den skal være motsatt rettet. Vi multipliserer med -1 og får $\overrightarrow{u}=[-3,-4]$

Oppgave 8

a)

Vinkel B er en pereferivinkel som spenner over buen AC. Vinkel CSA er en sentralvinkel som spenner over sammen buen. Vinkel DSA er halvparten av vinkel CSA. Vinkel B er derfor lik vinkel DSA.

Oppgave 9

$$\begin{gathered} 9^x-3^x-12=0 \\ (3^x{)}^2-3^x-12=0 \end{gathered}$$

Setter $u=3^x$

$$\begin{gathered} u^2-u-12=0 \\ u=-3\vee u=4 \end{gathered}$$

Må forkaste u= -3 og får

$$\begin{gathered} 3^x=4 \\ x=\frac{lg4}{lg3} \end{gathered}$$

Oppgave 1

a)

b)

Fra tegningen i a ser man at likningen blir $(x-3{)}^2+(y-3{)}^2=18$. Altså en sirkel med sentrum i punktet (3, 3) og med radius $\sqrt{18}$

Oppgave 2

a)

b)

Fra Figuren i a leser vi at farten må være 12 - 58 km/h.

c)

Det passerer flest biler, ca. 30 stykker per minutt, når farten er ca. 26 km/h.

Oppgave 4

a)

f har nullpunkt for x= 1 gir: 1 + a + b + c+ 1 = 0

x = 2 er x- koordinat til vendepunktet. f(x) = $12x^2+6ax+2b$. f(2)=0 gir: 48 + 12a + 2b = 0

f(3) = 4 gir: 4 = 81 + 27a + 9b + 3c + 1

b)

a= -6, b = 12, c= -8. Det gir funksjonen:

$f(x)=x^4-6x^3+12x^2-8x+1,D_f=\text{R}$

Oppgave 5

a)

$$\begin{gathered} g´(x)=3a{x}^2-2x \\ g´(t)=3a{t}^2-2t \end{gathered}$$

Vi har nå funnet stigningstallet til tangenten i P. Finner så b i likningen for den rette linje:

$$\begin{gathered} y=ax+b \\ a{t}^3-t^2=(3a{t}^2-2t)t+b \\ b=t^2-2a{t}^3 \end{gathered}$$

Innsatt i y= ax + b gir det:

$y=(3a{t}^2-2t)x+t^2-2a{t}^3$