R1 2015 vår LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag (pdf) fra bruker joes. Send gjerne en melding hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk.

Del 2, oppgave 2 (video)

Del 2, oppgave 5 (video)

Forhandssensur

Vurderingsskjema

Sensorveiledning

Løsning fra NDLA

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} f(x)=x^3+2x^2-3x \\ f´(x)=3x^2+4x-3 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=ln(x-2) \\ g´(x)=\frac{1}{x-2} \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} h(x)=(2x^2-1{)}^3 \\ h´(x)=3(2x^2-1{)}^2\cdot 4x=12x(2x^2-1{)}^2 \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

$$\begin{gathered} P(x)=x^3+2x^2-5x-6 \\ P(2)=8+8-10-6=0 \end{gathered}$$

Altså er polynomet delelig med x - 2.

b)

$$\begin{gathered} x^3+2x^2-5x-6:(x-2)=x^2+4x+3 \\ -(x^3-2x^2) \\ 4x^2-5x \\ -(4x^2-8x) \\ 3x-6 \\ -(3x-6) \end{gathered}$$

Løser $x^2+4x+3=0$ og får

P(x) = ( x - 2)( x + 1)(x + 3)

c)

$$\begin{gathered} li{m}_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+1)(x+3)}{x-2}= \\ li{m}_{x\to 2}(x+1)(x+3)=15 \end{gathered}$$

Oppgave 3

$$\begin{gathered} \frac{x-2}{x^2+2x}+\frac{2}{x}+\frac{x+2}{x^2-2x}-\frac{3x}{x^2-4}= \\ \frac{(x-2)(x-2)+2((x+2)(x-2)+(x+2)(x+2)-3x^2}{x(x+2)(x-2)}= \\ \frac{x^2-4x+4+2x^2-8+x^2+4x+4-3x^2}{x(x+2)(x-2)}= \\ \frac{x^2}{x(x+2)(x-2)} \\ \frac{x}{(x+2)(x-2)} \end{gathered}$$

Oppgave 4

$$\begin{gathered} x^2-2x+y^2+4y-20=0 \\ (x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)-25=0 \\ (x-1{)}^2+(y+2{)}^2=5^2 \end{gathered}$$

Sirkelen har radius 5, med sentrum i punktet (1, -2).

Oppgave 5

a)

$\overrightarrow{u}\parallel \overrightarrow{v}\Rightarrow \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$

I tilleg må vi skifte fortegn siden den skal være motsatt rettet. Vi multipliserer med -1 og får $\overrightarrow{u}=[-3,-4]$

b)

En vektor som står vikelrett på [a,b] vektor er vektoren k[-b, a]. Vektoren [-4,3] står derfor vinkelrett på [ 3, 4] vektor. Kriteriet er at når to vektorer står vinkelrett på hverandre er skalarproduktet null:

$[3,4]\cdot [-4,3]=-12+12=0$

c)

$\overrightarrow{w}$ står vinkelrett på $\overrightarrow{v}$ så derfor må t være null.

$$\begin{gathered} \overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u} \\ [3,4]=k[-3,-4] \end{gathered}$$

I dette tilfellet må k = -1.

d)

Lengde av v vektor:

$|\overrightarrow{v}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$

Dersom lengden av x vektor skal være 7, må v vektoren multipliseres med $\frac{7}{5}$:

$\overrightarrow{x}=\frac{7}{5}\overrightarrow{v}=\frac{7}{5}[3,4]=[\frac{21}{5},\frac{28}{5}]$

Oppgave 6

a)

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})=\frac{12!}{10!\cdot 2!}=6\cdot 11=66$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})=\frac{n!}{(n-1)!\cdot 1!}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)....}{(n-1)\cdot (n-2)....}=n$

b)

$$\begin{gathered} \frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{1})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{12-x}{1})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})}=\frac{6}{11} \\ \frac{x\cdot (12-x)}{66}=\frac{6}{11} \\ x(12-x)=36 \\ {x}^2-12x+36=0 \\ (x-6)(x-6)=0 \\ x=6 \end{gathered}$$

Oppgave 7

a)

$$\begin{gathered} f(x)3x{e}^{-x} \\ f´(x)=3e^{-x}-3x{e}^{-x}=3e^{-x}(1-x) \end{gathered}$$

Funksjonen har et ekstremalpunkt for x=1. For x >1 avtar funksjonen og for x < 1 vokser den. Det betyr at den har et toppunkt for x = 1. $f(1)=\frac{3}{e}$ .

Maksimumspunkt: $(1,\frac{3}{e})$

b)

$$\begin{gathered} f(x)3x{e}^{-x} \\ f´(x)=3e^{-x}-3x{e}^{-x}=3e^{-x}(1-x) \\ f‘‘(x)= \end{gathered}$$

c)

Oppgave 8

a)

Vinkel B er en pereferivinkel som spenner over buen AC. Vinkel CSA er en sentralvinkel som spenner over sammen buen. Vinkel DSA er halvparten av vinkel CSA. Vinkel B er derfor lik vinkel DSA.

b)

$$\begin{gathered} \mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }DSA \\ sinDSA=\frac{\frac{1}{2}b}{R} \\ 2R=\frac{b}{sinB} \end{gathered}$$

c)

Tja... Vi gjør det samme med a og c, somm vi gjørde med b i oppgave b. Man må lage fotpunkt på BC og AB også. ABS og BCS er også likebeinte så oppgaven er en repetisjon av oppgave b.

Oppgave 9

$$\begin{gathered} 9^x-3^x-12=0 \\ (3^x{)}^2-3^x-12=0 \end{gathered}$$

Setter $u=3^x$

$$\begin{gathered} u^2-u-12=0 \\ u=-3\vee u=4 \end{gathered}$$

Må forkaste u= -3 og får

$$\begin{gathered} 3^x=4 \\ x=\frac{lg4}{lg3} \end{gathered}$$

Oppgave 1

a)

b)

Fra tegningen i a ser man at likningen blir $(x-3{)}^2+(y-3{)}^2=18$. Altså en sirkel med sentrum i punktet (3, 3) og med radius $\sqrt{18}$

Oppgave 2

a)

b)

Fra Figuren i a leser vi at farten må være 12 - 58 km/h.

c)

Det passerer flest biler, ca. 30 stykker per minutt, når farten er ca. 26 km/h.

Oppgave 3

a)

V deriverer posisjonsvektoren og får:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{r_A}(t)=[18t-8,10-3t] \\ \overrightarrow{v}=\overrightarrow{r_A}´(t)=[18,-3] \end{gathered}$$

og

$$\begin{gathered} \overrightarrow{r_B}(t)=[10t,20-6t] \\ \overrightarrow{v}=\overrightarrow{r_B}´(t)=[10,-6] \end{gathered}$$

Litt amatørmessig å oppgi farten til båter i km/h, men la gå:

$v_A=\sqrt{{18}^2+(-3{)}^2}\approx 18,2$ km/h

og

$v_B=\sqrt{{10}^2+(-6{)}^2}\approx 11,6$ km/h

b)

Avstanden mellom båtene vil til enhver tid være en vektor i x-rettning pluss en vektor i y- rettning. Resultanten blir hypotenusen i en rettvinklet trekant og Pytagoras kan brukes:

$$\begin{gathered} d=\sqrt{|{\overrightarrow{r}}_A{|}^2+|{\overrightarrow{r}}_B{|}^2} \\ d=\sqrt{(18t-8-10t{)}^2+(10-3t-(20-6t))} \\ d=\sqrt{(8t-8{)}^2+(3t-10{)}^2} \end{gathered}$$

c)

Vi skriver uttrykket for d inn i Geogebra og finner munimumspunktet:

Oppgave 4

a)

f har nullpunkt for x= 1 gir: 1 + a + b + c+ 1 = 0

x = 2 er x- koordinat til vendepunktet. f(x) = $12x^2+6ax+2b$. f(2)=0 gir: 48 + 12a + 2b = 0

f(3) = 4 gir: 4 = 81 + 27a + 9b + 3c + 1

b)

a= -6, b = 12, c= -8. Det gir funksjonen:

$f(x)=x^4-6x^3+12x^2-8x+1,D_f=\text{R}$

Oppgave 5

a)

$$\begin{gathered} g´(x)=3a{x}^2-2x \\ g´(t)=3a{t}^2-2t \end{gathered}$$

Vi har nå funnet stigningstallet til tangenten i P. Finner så b i likningen for den rette linje:

$$\begin{gathered} y=ax+b \\ a{t}^3-t^2=(3a{t}^2-2t)t+b \\ b=t^2-2a{t}^3 \end{gathered}$$

Innsatt i y= ax + b gir det:

$y=(3a{t}^2-2t)x+t^2-2a{t}^3$

b)

1. Definerer g(x) i CAS.

2. Finner skjæringspunktene mellom g og den rette linje.

3. Finner $g(\frac{-2at+1}{a})$ og finner punktet Q i tredje kvadrant: $(\frac{-2at+1}{a},\frac{-8a^2{t}^3+8a{t}^2-2t}{a})$.