R1 2014 høst LØSNING

• Løsning fra NDLA
• Diskusjon av denne oppgaven
• Løsningsforslag (pdf) fra bruker joes. Send gjerne en melding hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk.
  

Feil i løsningsforslag:
Del 1 2a: Snek seg inn en trykkfeil for det skal stå +2x og ikke -2x i andregradspolynomet.
Del 2 4b forsvant i farten: Løs likningen T(x)=16/2 som gir x=1 og x=2.

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} f(x)=5x^3-2x^2+5 \\ f‘(x)=15x^2-4x \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=x^2\cdot e^x \\ g‘(x)=2x{e}^x+x^2{e}^x=x{e}^x(2+x) \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

Her må vi prøve oss fram. Det lønner seg å begyne med det enkleste muligheter først. Man observerer at P(1) = 0 og vet da at P er delelig på (x-1):

$$\begin{gathered} x^3+x^2-10x+8:(x-1)=x^2+2x-8 \\ -(x^3-x^2) \\ 2x^2-10x \\ -(2x^2-2x) \\ -8x+8 \end{gathered}$$

Ved å faktorisere andregradspolynomet får man røtter for x= -4 og x =2.

P faktorisert: ( x - 1) (x - 2)(x + 4).

b)

$$\begin{gathered} P(x)\le 0 \\ x\in <\leftarrow ,-4]\cup [1,2] \end{gathered}$$

Oppgave 3

a)

$$\begin{gathered} L=10\cdot lg(\frac{I}{I_0}) \\ L=10(lgI-lg{I}_0) \\ L=10(lgI-lg{10}^{-12}) \\ L=10lgI+120 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} L=10lgI+120 \\ L=10\cdot lg{10}^{-4}+120 \\ L=80 \end{gathered}$$

Det er 80 db på arbeidsplassen.

c)

$$\begin{gathered} L=10lgI+120 \\ 100-10lgI+120 \\ lg!=-2 \\ I={10}^{-2} \end{gathered}$$

Det svarer til ${10}^{-2}W/m^2$

Oppgave 4

a)

b)

$f´(x)=\frac{2(x-1)-(2x-4)}{(x-1{)}^2}=\frac{2}{(x-1{)}^2}$

c)

$$\begin{gathered} f(2)=0 \\ f´(2)=2 \\ y=ax+b \\ 0=2\cdot 2+b \\ b=-4 \\ y=2x-4 \end{gathered}$$

Oppgave 5

a)

Stigningstallet til linjen y= ax + b er a. Dvs. hvor mye man går opp eller ned på y aksen når man går en enhet til høyre på x- aksen, for å treffe linjen igjen. Det er nettopp det v vektor gjør.

b)

Dersom linjen står vinkelrett på hverandre er skalarproduktet mellom rettningsvektorene lik null.

$$\begin{gathered} [1,a_1][1,a_2]=0 \\ 1+a_1\cdot a_2=0 \\ {a}_1\cdot a_2=-1 \end{gathered}$$

Oppgave 6

$$\begin{gathered} \frac{2}{3}\cdot (\frac{3}{4}{)}^{x^2-x}=\frac{3}{8} \\ (\frac{3}{4}{)}^{x^2-x}=(\frac{3}{4}{)}^2 \\ {x}^2-x-2=0 \\ x=-1\vee x=2 \end{gathered}$$

Oppgave 7

a)

$A_{ABCD}=a^2$

Lengden AC = $\sqrt{2}a$

Areal stort kvadrat blir da:

$A_{AEFC}=(\sqrt{2}a{)}^2=2a^2$

Det store kvadratet har dobbelt så stort areale som det lille. Dett kan vi se lett ved geometriske betraktninger, siden ACD er lik BFC.

b)

Avsett et linjestykke AB = 10 cm. Kosntruer midtnormalen til AB, CD, slik at C ligger 5 cm under AB og D ligger 5 cm over linjestykke AB. Du har nå to diagonaler, AB og CD, begge på 10 cm. Disse utspenner et kvadrat ABCD på $50c{m}^2$

Oppgave 8

$$\begin{gathered} f(x)=x^3-x \\ {f}^{\prime }(x)=3x^2-1 \\ {f}^{\prime }(x)=li{m}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}= \\ \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{(x+\mathrm{\Delta }x{)}^3-(x+\mathrm{\Delta }x)-(x^3-x)}{\mathrm{\Delta }x}= \\ \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{(x^2+2x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2)(x+\mathrm{\Delta }x)-x-\mathrm{\Delta }x-x^3+x)}{\mathrm{\Delta }x}= \\ \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{x^3+2x^2\mathrm{\Delta }x+x(\mathrm{\Delta }x{)}^2+x^2\mathrm{\Delta }x+2x(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }x{)}^3-\mathrm{\Delta }x-x^3}{\mathrm{\Delta }x}= \\ \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x(2x^2+x\mathrm{\Delta }x+x^2+2x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2-1)}{\mathrm{\Delta }x}= \\ 2x^2+x^2-1= \\ 3x^2-1 \end{gathered}$$

Oppgave 1

a)

Fra Figuren ser man at etter 15 sek er den ca 0,41 millimol per liter.

Fra Figuren ser man at det tar ca 2 min og 14 sekunder, for å nå 2,0 millimol per liter.

b)

Graf tegnet i a.

Dersom t blir stor ser man at det siste leddet i funksjonsuttrykket går mot null og f går mot 2,5.

c)

Fra Figuren ser man at reaksjonshastigheten da er 0,006 millimol per liter, per sekund.

Oppgave 2

a)

Primtall er tall som kun er delleligge med seg selv og en: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, og 23.

b)

Vi har 25 tall, hvorav 9 primtall. Trkkning uten tilbakelegging. Dette er en hypergeometrisk situasjon:

c)

Oppgave 4

a)

Areal trekant AEH + GFC: $x(4-2x)=4x-2x^2$

Areal trekant HGD + EBF: $2x(4-x)=8x-2x^2$

Areal av alle fire trekanter: $12x-4x^2$

Areal parallellogramm EFGH:

$T(x)=16-(12x-4x^2)=4x^2-12x+16$

b)

$$\begin{gathered} T(x)=8 \\ 4x^2-12x+8=0 \\ x=1\vee x=2 \end{gathered}$$

c)

Oppgave 6

a)

Vinkel BAS er lik vinkel ABS. Vi kaller dem for x:

$$\begin{gathered} u+2x=180 \\ 2x=180-u \\ x=90-\frac{u}{2} \end{gathered}$$

b)

AS er radien i sirkelen og står følgelig vinkelrett på tangenten i A:

$$\begin{gathered} v+90-\frac{u}{2}=90 \\ v=\frac{u}{2} \end{gathered}$$

Oppgave 7

a)

$$\begin{gathered} f(x)=\frac{u}{v}u>0,v>0 \\ (\ln f(x))´=\frac{1}{u}\cdot u´-\frac{1}{v}\cdot v´=\frac{u´v-vú}{uv} \end{gathered}$$

b)

Vi husker resultatet fra oppgave a.

$(\frac{u}{v})´=(e^{\ln \frac{u}{v}})´=e^{\ln \frac{u}{v}}\cdot \frac{u´v-vú}{uv}=\frac{u}{v}\cdot \frac{u´v-v‘u}{uv}=\frac{uv´-v‘u}{v^2}$