S1 2016 høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon og delvis løsning av denne oppgaven

Oppgave 1

A)

$$\begin{gathered} \frac{2x-1}{3}-\frac{3x+2}{4}=\frac{5}{6} \\ (\frac{2x-1}{3}\ast 12)-(\frac{3x+2}{4}\ast 12)=(\frac{5}{6}\ast 12) \\ 8x-4-9x-6=10 \\ x=-20 \end{gathered}$$

B)

$$\begin{gathered} lg(2x-6)=2 \\ {10}^{lg(2x-6)}={10}^2 \\ 2x-6=100 \\ x=53 \end{gathered}$$

Oppgave 2

A)

$$\begin{gathered} a(a-b)+b(b-a) \\ {a}^2-ab+b^2-ab \\ {a}^2-2ab+b^2 \\ (a-b{)}^2 \end{gathered}$$

Begge løsningene av de to nederste radene gir full uttelling, henvist til sensorveiledningen.

B)

$$\begin{gathered} \frac{(a{b}^2{)}^2{b}^{-}3}{a^2(b^{-}1{)}^2} \\ {a}^{(2-2)}\ast b^{(4-3+2)} \\ {b}^3 \end{gathered}$$

C)

$$\begin{gathered} lg2+lg4+lg9-lg3-lg8 \\ lg2+2lg2+2lg3-lg3-3lg2 \\ lg3 \end{gathered}$$

Oppgave 3

A)

Setter opp to likninger:

$$\begin{gathered} L1:x+y=200 \\ L1:y=200-x \end{gathered}$$

Dagen etter hadde de 110 kroner igjen tilsammen:

$L2:(x-\frac{1}{2}x)+(y-10)=110$

B)

Setter inn L1 inn i L2 ved hjelp av innsettingsmetoden:

$$\begin{gathered} (x-\frac{1}{2}x)+((200-x)-10) \\ (x-\frac{1}{2}x)+(200-x-10)=110 \\ \frac{1}{2}x=80 \\ x=160 \end{gathered}$$

Per hadde 160 kroner på Mandag.

Oppgave 4

$$\begin{gathered} x^2+6\le 5x \\ {x}^2-5x+6\le 0 \end{gathered}$$

Bruker Abc formelen med x^2-5x+6=0

$$\begin{gathered} x=\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{2} \\ x=2\vee x=3 \end{gathered}$$

Setter inn verdier for når x<2, 2<x<3 og x>3 inn i opprinnelige uttrykket for å finne ut hvilke x-verdier som stemmer.

$$\begin{gathered} 1^2+6>5\ast 1 \\ {\frac{5}{2}}^2+6<5\ast \frac{5}{2} \\ {4}^2+6>5\ast 4 \end{gathered}$$

Løsningen blir derfor:

$x^2+6\le 5x\Rightarrow 2\le x\le 3$

Kun løsning av annengradslikningen gir ingen uttelling, henvist til sensorveiledningen.

Oppgave 5

A)

Bruker uordnet uten tilbakelegging:

Dette gir 6!=6*5*4*3*2 mulige utfall.

Billettene kan deles ut på 720 måter.

Oppgave 6

A)

Beregn S(0), S(4) og S(8) for å finne punkter på grafen

Deretter sett inn (0,0), (4,60) og (8,104) og trekk linje igjennom disse.

B)

Bruker formel for gjennomsnittlig veksthastighet:

$$\begin{gathered} \frac{S(4)-S(0)}{4-0} \\ \frac{(17\ast 4-0,5\ast 4^2)-(17\ast 0-0,5\ast 0^2)}{4} \\ 15 \end{gathered}$$

Gjennomsnittlig veksthastighet til S i tidsrommet [0, 4] er 15. I løpet av de fire første timene produserer Per 15 stoler per time i gjennomsnitt på en normal dag.

C)

Deriverer funksjonen og setter den deriverte lik 4:

$$\begin{gathered} S‘(4)=-t+17 \\ -4+17 \\ 13 \end{gathered}$$

Per øker produksjonen med 13 stoler i timen fra fire til fem timer i produksjon.

Må tolke svaret til oppgaven for å få full uttelling, henvist til sensorveiledningen

D)

Regner ut hvor mange stoler han produserer på 4 timer:

$$\begin{gathered} 17\ast 4-0,5\ast 4^2 \\ 60 \end{gathered}$$

Tjener 10 kroner per stol han produserer, dette gir 60*10 kroner.

Per tjener 600 kroner på å produsere i 4 timer.

E)

Per tjener 10 kroner per stol og produserer dermed 14 stoler i gjennomsnitt per time. Bruker dermed formelen for gjennomsnittlig veksthastighet og setter denne lik 14:

$$\begin{gathered} \frac{17t-0,5t^2}{t}=14 \\ 0.5t^2=3t \\ {t}^2=6t \\ \frac{t^2}{t}=6 \\ t=6 \end{gathered}$$

Kan sjekke svaret ved å sette S(6):

$$\begin{gathered} 17\ast 6-0,5\ast 6^2 \\ 102-36 \\ 84 \\ \Downarrow \\ 84\ast 10=840 \\ \Downarrow \\ \frac{840}{6}=140 \end{gathered}$$

Per jobbet i seks timer da gjennomsnittlig timelønnen var 140 kroner.

Oppgave 7

A)

Siden konstantleddet +14 forekommer kun i P3(x) hvor -2*-7=14 kan vi sjekke svaret ved å multiplisere ut denne:

$$\begin{gathered} (x-2)(x^2-6x-7) \\ {x}^3-6x^2-7x-2x^2+12x+14 \\ {x}^3-8x^2+5x+14 \end{gathered}$$

Dette kan også vises med polynomdivisjonen

B)

Setter den faktoriserte funksjonen lik 0 for å finne nullpunktene.

Funksjonen har nullpunkt når x-2=0 og når x^2-6x-7=0

Bruker Abc formelen for x^2-6x-7

$$\begin{gathered} \frac{6\pm \sqrt{36+28}}{2} \\ \frac{6\pm 8}{2} \end{gathered}$$

Vi har nullpunktene hvor x=2, x=7 og x=-1 som gir nullpunktene:

$(2,0),(7,0)og(-1,0)$

C)

Deriverer funksjonen og setter den deriverte lik 0:

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=3x^2-16x+5 \\ 3x^2-16x+5=0 \end{gathered}$$

Bruker Abc formelen:

$$\begin{gathered} x=\frac{16\pm \sqrt{256-60}}{6} \\ x=\frac{16\pm 14}{6} \\ x=\frac{1}{3}\vee x=5 \end{gathered}$$

Det er kun hvor den deriverte skifter fortegn, det er topp- og bunnpunkter. Dette finner vi ved å beregne hvor x<1/3, 1/3<x<5 og x>5 som gir:

$$\begin{gathered} f^{\prime }(0)=5 \\ {f}^{\prime }(1)=-8 \\ {f}^{\prime }(6)=17 \end{gathered}$$

Tegner fortegnslinje:

Finner topp- og bunnpunktet ved å sette x- verdiene i f(x):

$$\begin{gathered} f(\frac{1}{3})=\frac{400}{27} \\ f(5)=-36 \end{gathered}$$

$Toppunkt:(\frac{1}{3},\frac{400}{27})$

$Bunnpunkt:(5,-36)$

Oppgave 1

A)

Setter x=elever og y=lærere

Det var totalt 23 elever(x) og 4 lærere(y) som betalte 1760 kroner på regning 1 og 13 elever(x) og 7 lærere(y) som betalte 1445 kroner

B)

Setter inn likningene i CAS

Elevene betalte 60 kroner og lærerne 95 kroner

Oppgave 2

A)

Dette er en hypergeometrisk fordeling siden det trekkes 7 kuler av utvalg på 34, 9 av disse er spesielle. Det er totalt 9 tall som er mindre enn 10. 25 tall er over 9(10-34). Det trekkes 7 av 34 tall.

B)

Bruker hypergeometrisk fordeling i geogebra:

Det er 93,87% sannsynlighet for at 3 eller færre av vinnertallene er mindre enn 10

C)

Bruker hypergeometrisk fordeling i geogebra hvor 1 av 34 tall er defekt:

Det er 79,4% sannsynlighet for at tallet 11 ikke er blant vinnertallene i en spilleomgang.

D)

Bruker binomisk fordeling med n=10 og p=0,794 i geogebra:

Sannsynligheten for at tallet 11 ikke blir trukket ut en eneste gang i de 10 første spilleomgangene er 9,97%

Oppgave 3

A)

Sett verdiene inn i excel i geogebra og bruk funksjonen "lag liste med punkter" og "RegEksp[Liste1].

Vis både utklipp fra excel og grafikkfeltet med navn på akser og punkter.

En eksponentiell modell som passer med verdiene er $f(x)=1916,71\ast 2,1^x$

B)

Bruker Cas og skriver inn f(x)=200000 og bruker Nløs:

Antall registrerte elbiler passerer 200000 etter 1. Kvartal i 2016

C)

Definer g(x) i Cas, skriv navn på akser og funksjonene, deretter vis graffikkfeltet med både g(x) og f(x)

D)

Setter f(x)=g(x) i Cas og trykker Nløs:

Det er flere registrerte elbiler enn privatbiler fra andre halvdel av 2019

Oppgave 4

A)

Definerer x=biler og y=busser

Det er ikke mulig å parkere færre enn 0 busser eller biler

Totale kjøretøy, dvs biler+busser kan ikke overstige 60

Biler tar $12m^2$ og busser tar $50m^2$. Totalt blir dette maksimalt $1000m^2$. Dette gir:

$$\begin{gathered} 12x+50y=1000 \\ 6x+25y=1000 \end{gathered}$$

B)

Setter inn ulikhetene i geogebra og skraverer det røde området som er begrenset, se C)

C)

Lager glider i geogebra som I og skriver inn funksjonen I=30x+100y:

Finner punktet C og setter glideren slik at optimal inntekt blir 2316 kroner ifølge denne. Dette gir 52,63 biler og 7,37 busser som ikke er mulig.

Bruker Cas og tester størst mulig inntekt ved å ligge innenfor ulikhetene og under 2316 kroner i inntekt:

Størst inntekt oppnås ved å parkere 50 biler og 8 busser. Dette gir en inntekt på 2300 kroner.