1T 2016 høst LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Oppgave 1

Tar utgangspunkt i likning #2 og lager først et uttrykk for y

$$-y=-2x-9\iff y=2x+9$$

Setter det inn i likning #1

$$5x=-2(2x+9)\iff 5x=-4x-18\iff 9x=-18\iff x=(-2)$$

Setter så inn verdien for x inn i hvilken som helst vilkårlig likning, i dette tilfellet tar vi for oss likning 1 fordi den er enklest.

$$5(-2)=-2y\iff -10=-2y\iff y=5$$

Derfor, $$x=(-2),y=5$$

Oppgave 2

Først omskriver vi det litt med hensyn til faktorisering.

$$\frac{2x^2-2}{x^2-2x+1}=\frac{2(x^2-1)}{x^2-2x+1}\iff \frac{2(x-1)(x+1)}{x^2-2x+1}$$

Ser vi i nevneren vil vi se at vi har et andregradsuttrykk. Dette kan du faktorisere ved hjelp av abc-formelen.

Du finner fort ut at likninga kun har ett nullpunkt for $$x=1$$ Da kan du skrive nevneren som $$(x-1{)}^2$$

videre får du

$$\frac{2(x-1)(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{2(x+1)}{x-1}$$

Oppgave 3

$$\begin{gathered} -x^2+3x>-10 \\ -x^2+3x+10>0 \end{gathered}$$

Faltoriserer uttrykket:

$$\begin{gathered} x=\frac{-3\pm \sqrt{9+40}}{-2} \\ x=-2\vee x=5 \end{gathered}$$

Gir oss uttrykket på faktorisert form:

$-1(x-5)(x+2)>0$

Tegner så fortegnsskjema.

Oppgave 4

$$lg(2x+\frac{3}{5})=-1$$

Ved hjelp av logaritmereglene vet vi at $$-1=lg({10}^{-1})$$

Derfor kan vi si at

$$lg(2x+\frac{3}{5})=lg({10}^{-1})$$

Ved hjelp av denne logaritmeregelen $$lg(a)=lg(b)\iff a=b$$

Kan vi si at

$$2x+\frac{3}{5}={10}^{-1}\iff 2x+\frac{3}{5}=\frac{1}{10}\iff 2x=-\frac{5}{10}\iff 2x=-\frac{1}{2}\iff x=-\frac{1}{4}$$

Oppgave 5

$$2^3\cdot 2^x=2^{2x}$$

Vi kjenner til regelen $$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$$ og sier at $$2^3\cdot 2^x=2^{x+3}$$

Derfor får vi at

$$2^{x+3}=2^{2x}$$

Vi kjenner regelen $$a^n=a^m\iff n=m$$

Derfor kan vi si at $$x+3=2x\iff x=3$$

Oppgave 6

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{54}}+2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{-1}= \\ \frac{\sqrt{3\cdot 16}}{\sqrt{6\cdot 9}}+\sqrt{2}\cdot \frac{1}{3}= \\ \frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{2}}{3}= \\ \frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}+\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2}}= \\ \frac{4+2}{3\sqrt{2}}= \\ \frac{2}{\sqrt{2}}= \\ \sqrt{2} \end{gathered}$$

a

Alle tre faktorene vil bli lik null som gir

$$f(x)=(x-1)(x-1)(x+2)\iff x-1=0,x+2=0\iff x=1\wedge x=-2$$

b

$$(x-1)(x-1)(x+2)=(x+2)(x-1{)}^2=(x+2)(x^2-2x+1)=x^3-3x+2$$

c

Vi finner topp og bunnpunkter når den deriverte = 0, dvs. ved 0 vekst.

$$(x^3-3x+2{)}^{\prime }=3x^2-3x$$

$$3x^2-3=0\iff 3x^2=3\iff x^2=1\iff x=\pm 1$$

Vi vet derfor at funksjonen har et ekstremalpunkt i $$(1,f(1))=(1,0)$$ og $$(-1,f(-1))=(-1,4)$$

d

Først finner vi stigningstallet

$$f^{\prime }(0)=a\iff 3\cdot 0^2-3=a\iff a=-3$$

Så finner vi likningen

$$(y-y_1)=a(x-x_1)\iff (y-2)=-3(x-0)\iff y=-3x+2$$

e)

Dersom vi skal ha flere tangenter med

Oppgave 11

$$\frac{sin(u)}{cos(u)}=tan(u)\iff \frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}}=\frac{8}{15}$$

Oppgave 12

b)

$$\begin{gathered} a^2+b^2=c^2 \\ \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2} \\ (\frac{a}{c}{)}^2+(\frac{b}{c}{)}^2=1 \\ si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1 \end{gathered}$$

Oppgave 13

a)

P( BRR) = $P(B)\cdot P(R)\cdot P(R)=\frac{4}{8}\cdot \frac{4}{7}\cdot \frac{3}{6}=\frac{1}{7}$