Bevis -derivasjon sinus

f(x) = sin(x) skal bevise at f'(x) = cos(x)

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{sin(x+\mathrm{\Delta }x)-sin(x)}{\mathrm{\Delta }x} \\ {f}^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{sin(x)Cos(\mathrm{\Delta }x)+cos(x)sin(\mathrm{\Delta }x)-sin(x)}{\mathrm{\Delta }x} \\ {f}^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{sin(x)(cos(\mathrm{\Delta }x)-1)+cos(x)sin(\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x} \\ {f}^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}sin(x)\cdot \frac{cos(\mathrm{\Delta }x)-1)}{\mathrm{\Delta }x}+\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}cos(x)\cdot \frac{sin(\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x} \\ {f}^{\prime }(x)=sin(x)\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{cos(\mathrm{\Delta }x)-1)}{\mathrm{\Delta }x}+cos(x)\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{sin(\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x} \end{gathered}$$

Nå kommer vi ikke videre før vi har sjekket ut de to grenseverdiene, men det ligger vel i kortene hva de må være siden vi vet hva vi ønsker å bevise...

Grenseverdiene $\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(x)}{x}$ og $\underset{x\to 0}{lim}\frac{cos(x)-1}{x}$

Vi tar først $\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(x)}{x}$

Tangens til v er lik lengden av linjestykke CD. De to trekantene er formlike og sirkelen har radius 1: $\frac{sin(v)}{cos(v)}=\frac{tan(v)}{1}$. som gir oss en definisjon for tangens som vi kjenner fra før.

Buelengden BC har har lengden v radianer, siden radius er 1. Buelengden BC er lengre enn Sin(v), men kortere enn Tan(v) (observasjon). Vi får da:

$$\begin{gathered} sin(v)<v<tan(v) \\ 1<\frac{v}{sin(v)}<\frac{1}{cos(v)} \\ 1>\frac{sin(v)}{v}>cos(v) \end{gathered}$$

Når v går mot null går cos(v) mot 1. $\frac{sin(v)}{v}$ ligger mellom to størrelser som begge går mot en når x går mot null. Derfor er:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(v)}{v}=1$

Da er den bevist.

Så er det $\underset{x\to 0}{lim}\frac{cos(x)-1}{x}$ :

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{lim}\frac{cos(x)-1}{x}\cdot \frac{cos(x)+1}{cos(x)+1} \\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{co{s}^2(x)-1}{x(cos(x)+1)} \\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{si{n}^2(x)}{x(cos(x)+1)} \\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(x)}{x}\cdot \underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(x)}{cos(x)+1} \\ =1\cdot 0=0 \end{gathered}$$

 Derivasjonsregler