1T 2017 høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningforslag som video på UDL.no

Fullstendig løsningsforslag som pdf laget av Lektor Nilsen

Forslag til fasit (ikke løsningsforslag) laget av mattepratbruker Markus: del 1 del 2

Har du et alternativt løsningsforslag du ønsker å dele? Send inn til cosinus@matematikk.net så legger vi det ut!

DEL EN

Oppgave 1

$\frac{120\cdot 25000}{0,15}=\frac{1,2\cdot {10}^2\cdot 2,5\cdot {10}^4}{1,5\cdot {10}^{-1}}=2,0\cdot {10}^{2+4-(-1)}=2,0\cdot {10}^7$

Oppgave 2

Fra figuren ser man at løsningen er x = 4 og y = 1.

Oppgave 3

$x^2-x-12\le 0$

Faktoriserer (abc formel eller koeffisientmetode) og får:

$(x-4)(x+3)\le 0$

Tegner fortegnsskjema:

$x\in [-3,4]$

Oppgave 4

$$\begin{gathered} 0<Sin({73}^{\circ })<1 \\ Tan({45}^{\circ })=1 \\ ln1=0 \\ lg({10}^{-\frac{1}{4}}=-\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Rekkefølge blir da: $lg({10}^{-\frac{1}{4}}),ln1,Sin({73}^{\circ }),Tan({45}^{\circ })$

Oppgave 5

$$\begin{gathered} lg(x+\frac{1}{25})=-2 \\ x+\frac{1}{25}={10}^{-2} \\ x=\frac{1}{100}-\frac{1}{25} \\ x=-\frac{3}{100} \end{gathered}$$

Oppgave 6

$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}\cdot \sqrt{x}}=\frac{3\sqrt{x}}{x\sqrt{x}}=\frac{3}{x}$

Oppgave 7

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{30}}\cdot 5^{-1}\cdot {10}^{\frac{1}{2}}+8^{\frac{1}{3}}= \\ \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{10}}\cdot \frac{1}{5}\cdot \sqrt{10}+2= \\ 1+2=3 \end{gathered}$$

Oppgave 8

Lineær funksjon: y= ax + b, stigningstallet er det samme i hele definisjonsområdet, altså $a=f^{\prime }(x)=f^{\prime }(2)=3$

Vi har punktet (2, 4) og får:

$$\begin{gathered} y=3x+b \\ 4=3\cdot 2+b \\ b=-2 \end{gathered}$$

som gir utrykket

f(x)= 3x -2

a)

$3x^2-9x=3x(x-3)$

b)

$$\begin{gathered} \frac{x}{x-2}+\frac{2x}{x-3}-\frac{2x}{x^2-5x+6} \\ =\frac{x}{x-2}+\frac{2x}{x-3}-\frac{2x}{(x-3)(x-2)} \\ =\frac{x(x-3)}{x-2}+\frac{2x(x-2)}{x-3}-\frac{2x}{(x-3)(x-2)} \\ =\frac{x^2-3x+2x^2-4x-2x}{(x-3)(x-2)} \\ =\frac{3x^2-9x}{(x-3)(x-2)} \\ =\frac{3x}{x-2} \end{gathered}$$

a)

A - Eleven går i 2A

$\overline{A}$ - Eleven går i 2B

B - Eleven har biologi

$\overline{B}$ - Eleven har ikke biologi

$P(B)=P(A)\cdot P(B|A)+P(\overline{A})\cdot P(B|\overline{A})=0,5+0,25=0,75$ altså 75%.

b)

$P(A|B)=\frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(A)\cdot P(B|A)+P(\overline{A})\cdot P(B|\overline{A})}=\frac{0,5}{0,75}=\frac{2}{3}$

Det er to tredjedels sjanse for at tilfeldig elev med biologi går i 2A.

a)

$$\begin{gathered} f(-1)=(-1{)}^4-2(-1{)}^3+2=5 \\ f(1)=1^4-2\cdot 1^3+2=1 \end{gathered}$$

Endring i y verdi er -4 og endring i x verdi er 2. Gjennomsnittlig stigning blir da

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{-4}{2}=-2$

b)

$$\begin{gathered} f(x)=x^4-2x^3+2 \\ {f}^{\prime }(x)=4x^3-6x^2=2x^2(2x-3) \end{gathered}$$

Den deriverte er null for x = 0 og f(0) = 2

$$\begin{gathered} f^{\prime }(-1)=-10 \\ {f}^{\prime }(1)=-2 \end{gathered}$$

Funksjonen er strengt avtagende på begge sider av x=0. derfor er (0,2) et terassepunkt.

a)

$$\begin{gathered} f(x)=x^3-6x^2+12x-8 \\ {f}^{\prime }(x)=3x^2-12x+12 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} y=ax+b \\ a=f^{\prime }(1)=3-12+12=3 \\ f(1)=3-6+12-8=1 \\ y=ax+b \\ 1=3+b \\ b=-2 \\ y=3x-2 \end{gathered}$$

c)

Ja, den har en til. $f^{\prime }(x)=3$ gir også løsning for x = 3. Funksjonen har en parallell tangent i punktet (3, f(3)).

Oppgave 13

a)

Radius i sirkelene er a.

Ser på figuren som to "delvise" sirkler og får at omkretsen blir:

$O=2\pi a+2\pi a=4\pi a$

DEL TO

a)

a)

Bunnpunkt eller minimumspunkt. Vi finner den deriverte og setter den lik null. X verdien setter vi inn i funksjonsuttrykket, så har vi punket.

$$\begin{gathered} f(x)=2x^2-7x+3 \\ {f}^{\prime }(x)=4x-7 \\ {f}^{\prime }(x)=0 \\ 4x-7=0 \\ x=\frac{7}{4} \end{gathered}$$

$f(\frac{7}{4})=2\cdot (\frac{7}{4}{)}^2-7\cdot \frac{7}{4}+3=\frac{49-98+24}{8}=\frac{25}{8}$

Dersom man ønsker å trykke på knapper i stede for å tenke kan man jo gjøre den på CAS: