S2 2018 høst LØSNING

Diskusjon av oppgaven på matteprat

DEL 1

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} f(x)=e^{2x} \\ {f}^{\prime }(x)=2e^{2x} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=\frac{x^4-1}{x^2} \\ {g}^{\prime }(x)=\frac{4x^3\cdot x^2-(x^4-1)\cdot 2x}{(x^2{)}^2} \\ =\frac{4x^5-2x^5+2x}{x^4} \\ =\frac{2x^5+2x}{x^4} \\ =\frac{2x^4+2}{x^3} \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} h(x)=x^3\cdot lnx \\ {h}^{\prime }(x)=3x^2\cdot lnx+x^3\cdot \frac{1}{x} \\ =3x^2\cdot lnx+x^2 \end{gathered}$$

Oppgave 2

Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1{k}^{n-1}$ sier vi at den konvergerer.

I slike tilfeller er $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n{a}_i=\frac{a_1}{1-k}$

a)

Vi har rekken $a_n=54\cdot {\frac{1}{3}}^{n-1}$. I denne rekka er $k=\frac{1}{3}$. Det vil si at rekken konvergerer. Summen er gitt ved:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\frac{54}{1-\frac{1}{3}}=\frac{54}{\frac{2}{3}}=\frac{54\cdot 3}{2}=81$

b)

Vi har rekken $a_n=4\cdot (-2{)}^{n-1}$. I denne rekka er $k=-2$. Det vil si at rekken ikke konvergerer.

Oppgave 3

a)

x runder løpt	1	2	3	4	$n$
f(x) kroner tjent per runde	10	15	20	25	$F_n$
utregning for å finne formel	$5\cdot 2$	$5\cdot 3$	$5\cdot 4$	$5\cdot 5$	$5\cdot (n+1)=5n+5$

Inntekten per runde $F_n$ er gitt ved $F_n=5n+5$, der x er antall runder løpt og $n>0$. Setter $F_n=100$

$$\begin{gathered} 5n+5=100 \\ n+1=20 \\ n=19 \end{gathered}$$

Lise må løpe 19 runder for å tjene 100 kroner på den siste runden.

b)

$$\begin{gathered} S=\sum _{n=1}^{25}5n+5 \\ =\frac{(5\cdot 1+5)+(5\cdot 25+5)}{2}\cdot 25 \\ =\frac{10+130}{2}\cdot 25 \\ =70\cdot 25=1750 \end{gathered}$$

Bedriften må gi totalt 1750 kroner dersom Lise løper 25 runder.

Oppgave 4

a)

Funksjonen f er delelig på (x-1), derfor er (x-1) en faktor i f(x).

b)

Vi har allerede funnet en faktor, nemlig (x-1).

Faktoriserer nå resten ved å kjenne igjen andre kvadratsetning:

$x^2-4x+4=x^2-2\cdot 2+2^2=(x-2)(x-2)$

Vi har da:

$f(x)=x^3-5x^2+8x-4=(x-1)(x-2)(x-2)$

c)

Kjenner igjen konjugatetningen i nevneren.

$\frac{x^3-5x^2+8x-d}{x^2-4}=\frac{x^3-5x^2+8x-d}{(x+2)(x-2)}$

Brøken kan forkortes for d=4, slik vi hadde for f(x), hvor (x-2) var en faktor.

Oppgave 5

a)

$I(p)=p\cdot q(p)=p\cdot 500\cdot e^{-0,04p}$

Finner størst inntekt ved derivasjon:

$$\begin{gathered} I^{\prime }(p)=500\cdot e^{-0,04p}+500p\cdot (-0,04)\cdot e^{-0,04p} \\ =500\cdot e^{-0,04p}-20p\cdot e^{-0,04p} \\ =(500-20p)\cdot e^{-0,04p} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} I^{\prime }(p)=0 \\ (500-20p)\cdot e^{-0,04p}=0\Rightarrow (500-20p)=0 \\ p=\frac{500}{20}=25 \end{gathered}$$

Vi har et toppunkt i p=25. Det vil si at en pris på 25 kr gir maksimal inntekt.

b)

$$\begin{gathered} q=500\cdot e^{-0,04p} \\ \frac{q}{500}=e^{-\frac{1}{25}p} \\ ln⟮\frac{q}{500}⟯=-\frac{1}{25}p \\ -25ln⟮\frac{q}{500}⟯=p \\ p(q)=-25ln⟮\frac{q}{500}⟯ \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} p^{\prime }(q)=-\frac{25}{q} \\ {p}^{\prime }(25)=-\frac{25}{25}=-1 \end{gathered}$$

Svaret forteller oss at ved en etterspørsel på 25 enheter, vil prisen synke med 1 krone per enhet, dersom etterspørselen blir 26 enheter.

Oppgave 6

a)

Vi har $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, der a,b,c og d er konstanter.

• x=1 er et nullpunkt, det vil si at $f(1)=0$ .

$f(1)=a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=a+b+c+d=0$

• x=-2 er et nullpunkt, det vil si at $f(-2)=0$.

$f(-2)=a\cdot (-2{)}^3+b\cdot (-2{)}^2+c\cdot (-2)+d=-8a+4b-2c+d=0$

• x=1 er ekstremalpunktet, det vil si at $f^{\prime }(1)=0$.

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c \\ {f}^{\prime }(1)=3a\cdot 1^2+2b\cdot 1+c=3a^2+2b+c=0 \end{gathered}$$

• At grafen til f skjærer y-aksen i y=2 forteller oss at konstantleddet d=2.

b)

Bruker at d=2. Bruker likning 1 til å finne et uttrykk for c:

$a+b+c+d=0\Rightarrow c=-a-b-2$

Setter inn uttrykket for c i likning 2:

$$\begin{gathered} -8a+4b-2c+2=0 \\ -8a+4b-2(-a-b-2)+2=0 \\ -8a+4b+2a+2b+4+2=0 \\ -6a+6b+6=0|:6 \\ -a+b+1=0 \end{gathered}$$

Setter inn uttrykket for c i likning 3:

$$\begin{gathered} 3a+2b+c=0 \\ 3a+2b+(-a-b-2)=0 \\ 3a+2b-a-b-2=0 \\ 2a+b-2=0 \end{gathered}$$

Har nå to likninger med to ukjente:

$$\begin{gathered} -a+b+1=0 \\ 2a+b-2=0 \end{gathered}$$

Finner et uttrykk for b:

$-a+b+1=0\Rightarrow b=a-1$

Finner a:

$$\begin{gathered} 2a+b-2=0 \\ 2a+(a-1)-2=0 \\ 3a-3=0 \\ a=1 \end{gathered}$$

Finner b:

$b=a-1=1-1=0$

Finner c ved hjelp av mitt tidligere uttrykk for c:

$c=-a-b-2=-1-0-2=-3$

Bestemmer et uttrykk for f(x):

$f(x)=1x^3+0x^2-3x+2=x^3-3x+2$