S2 2018 vår LØSNING

oppgave som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsning laget av mattepratbruker Tommy O.

DEL 1

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} f(x)=2x^3-4x+1 \\ {f}^{\prime }(x)=6x^2-4 \end{gathered}$$

b)

$g(x)=\frac{x}{e^x}$

$g^{\prime }(x)=\frac{1\cdot e^x-x\cdot e^x}{(e^x{)}^2}=\frac{e^x(1-x)}{(e^x)(e^x)}=\frac{1-x}{e^x}$

c)

$$\begin{gathered} h(x)=ln(x^2+4x) \\ g(u)=ln(u),u=x^2+4x \\ {h}^{\prime }(x)=g^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }(x)=\frac{1}{u}\cdot u^{\prime }=\frac{2x+4}{x^2+4x} \end{gathered}$$

Oppgave 2

$$\begin{gathered} I5x+y+2z=0 \\ II2x+3y+z=3 \\ III3x+2y-z=-3 \end{gathered}$$

Legger sammen likning II og III.

$$\begin{gathered} 2x+3x+3y+2y+z-z=3-3 \\ 5x+5y=0 \\ x+y=0 \\ x=-y \end{gathered}$$

Setter inn $x=-y$ i likning I.

$$\begin{gathered} 5\cdot (-y)+y+2z=0 \\ -4y+2z=0 \\ 2z=4y \\ z=2y \end{gathered}$$

Setter inn $z=2y$ og $x=-y$ i likning II.

$$\begin{gathered} 2\cdot (-y)+3y+2y=3 \\ 3y=3 \\ y=1 \end{gathered}$$

$x=-y=-1$

$z=2y=2\cdot 1=2$

Løsning: $x=-1,y=1,z=2$

Oppgave 3

a)

$P(x)=x^3-3x^2-13x+15$

$P(1)=1^3-3\cdot 1^2-13\cdot 1+15=1-3-13+15=0$

x=1 er et nullpunkt, så P(x) er delelig med (x-1).

b)

Utfører polynomdivisjon for å faktorisere P(x)

Resten faktoriseres: $x^2-2x-15=(x^2-5x+3x+(-5)\cdot 3)=(x-5)(x+3)$. Bruk andregradsformelen ved behov.

Vi har $P(x)=(x-5)(x-1)(x+3)$. Bruker fortegnsskjema for å løse ulikheten.

$P(x)>0$ når $-3<x<1$ og $x>5$.

Løsningen kan også skrives som $x\in ⟨-3,1⟩$ og $x\in ⟨5,\to ⟩$

Oppgave 4

a)

Differansen, d, mellom to ledd i en aritmetisk rekke er konstant. Finner d:

$$\begin{gathered} a_4=a_1+d+d+d \\ 14=2+3d \\ 3d=12 \\ d=4 \end{gathered}$$

n	1	2	3	4	n
$a_n$	2	6	10	14
Formel	$2+4\cdot 0$	$2+4\cdot 1$	$2+4\cdot 2$	$2+4\cdot 3$	$2+4\cdot (n-1)=4n-2$

$a_n=4n-2$

b)

Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

Finner $a_{100}$:

$a_{100}=4\cdot 100-2=398$

Regner ut summen av de 100 første leddene i vår rekke:

$S_{100}=\frac{2+398}{2}\cdot 100=200\cdot 100=20000$

Oppgave 5

a)

Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1{k}^{n-1}$ sier vi at den konvergerer. I slike tilfeller er $S_n=\frac{a_1}{1-k}$ når n går mot uendelig.

Her har vi $a_n=3\cdot (\frac{1}{4}{)}^{n-1}$. Siden $-1<k<1$, så konvergerer rekken.

Regner ut summen av rekken når n går mot uendelig:

$S_n=\frac{3}{1-(\frac{1}{4})}=\frac{3}{\frac{3}{4}}=\frac{3\cdot 4}{3}=4$

b)

$0,242424...=0,24+0,0024+0,000024+...=\frac{24}{100}+\frac{24}{{100}^2}+\frac{24}{{100}^3}+...$

Dette er en geometrisk rekke hvor

$a_n=\frac{24}{100}\cdot (\frac{1}{100}{)}^{n-1}$

Siden $-1<k<1$, konvergerer rekken. Summen av denne rekken når n går mot uendelig er:

$S_n=\frac{\frac{24}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{\frac{24}{100}}{\frac{99}{100}}=\frac{24}{99}$

Det betyr at $0,242424...$ kan skrives som $\frac{24}{99}$

Oppgave 6

a)

$f(x)=\frac{6}{1+e^{-x}}$

Bruker kvotientregelen for derivasjon.

$f^{\prime }(x)=\frac{0\cdot (1+e^{-x})-6\cdot (-e^{-x})}{(1+e^{-x}{)}^2}=\frac{6e^{-x}}{1+2e^{-x}+e^{-2x}}$

Alle potenser av $e$ er positive (og større enn 0). Både telleren og nevneren til $f^{\prime }(x)$ er altså positive. En brøk med positiv teller og nevner har alltid positiv verdi. Altså er $f^{\prime }(x)>0$ for alle verdier av x. Det vil si at $f(x)$ er strengt voksende.

b)

Finner grenseverdien av f(x) når x går mot uendelig:

$li{m}_{x\to \mathrm{\infty }}{e}^{-x}=0$

Det vil si at når x går mot uendelig, går $e^{-x}$ mot null. Følgelig har vi at:

$li{m}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{6}{1+e^{-x}}=\frac{6}{1+0}=6$

Finner grenseverdien av f(x) når x går mot minus uendelig:

$li{m}_{x\to -\mathrm{\infty }}{e}^{-x}=e^{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$

Det vil si at når x går mot minus uendelig, går $e^{-x}$ mot uendelig. Følgelig har vi at:

$li{m}_{x\to -\mathrm{\infty }}\frac{6}{1+e^{-x}}=\frac{6}{\mathrm{\infty }}=0$

Altså er $0<f(x)<6$.

c)

Bruker kvotientregelen for derivasjon.

$$\begin{gathered} f^{″}(x)=\frac{(-6e^{-x})(e^{-2x}+2e^{-x}+1)-(6e^{-x})(-2e^{-2x}-2e^{-x})}{(e^{-2x}+2e^{-x}+1{)}^2} \\ =\frac{-6e^{-3x}-12e^{-2x}-6e^{-x}+12e^{-3x}+12e^{-2x}}{(e^{-2x}+2e^{-x}+1{)}^2} \\ =\frac{6e^{-3x}-6e^{-x}}{(e^{-2x}+2e^{-x}+1{)}^2} \end{gathered}$$

Brøken kan forkortes videre, men vi behøver ikke det. Vi skal finne x-verdien hvor $f^{″}(x)=0$, og trenger bare å se på telleren videre. Nevneren er et kvadrat av et uttrykk som alltid er større enn 0. Nevneren er derfor alltid større enn 0.

Vi har $f^{″}(x)=0$ når $6e^{-3x}-6e^{-x}=0$.

$$\begin{gathered} 6e^{-3x}=6e^{-x} \\ {e}^{-3x}=e^{-x} \\ -3x=-x \\ x=0 \end{gathered}$$

$f(x)$ har et vendepunkt i x=0. Finner y-verdien:

$f(0)=\frac{6}{1+e^{-0}}=\frac{6}{1+1}=3$

$f(x)$ har et vendepunkt i $(0,3)$.

d)

Vi vet at $0<f(x)<6$ og at vi har et vendepunkt i $(0,3)$. Vi vet også at dette er en logistisk funksjon, som er S-formet. Vi vet ikke så mye om x-aksen, men kunne eventuelt regne ut noen av punktene. Skisse av funksjonen:

Oppgave 7

a)

X er binomisk fordelt fordi:

• Det er to utfall i delforsøkene: $R$ eller $\bar{R}$ (rød kule eller ikke rød kule).

• $P(R)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. Det er lik sannsynlighet i alle delforsøkene, siden kulene legges tilbake etter hvert trekk.

• Delforsøkene er uavhengige av hverandre. Fargen på kulen du trekker i ett delforsøk, påvirker ikke fargen på kulen du trekker i neste delforsøk.

b)

$E(X)=n\cdot P(R)=10\cdot \frac{6}{10}=6$

$Var(X)=n\cdot P(R)\cdot (1-P(R))=10\cdot \frac{6}{10}\cdot 410=2,4$

Oppgave 8

a)

$x=1,10\Rightarrow z=\frac{x-\mu }{\sigma }=\frac{1,10-1}{0,05}=\frac{0,10}{0,05}=\frac{10}{5}=2$

$x=0,90\Rightarrow z=\frac{0,90-1}{0,05}=\frac{-0,10}{0,05}=\frac{-10}{5}=-2$

$$\begin{gathered} P(0,90\le X\le 1,10)=P(-2\le Z\le 2)=P(Z\le 2)-P(Z\le -2)=P(Z\le 2)-(1-P(Z\le 2)) \\ 0,97725-(1-0,97725)=0,97725-0,02275=0,95450 \end{gathered}$$

Sannsynligheten for at et tilfeldig valgt rugbrød veier mellom 0,90 kg og 1,10 kg er 95,45%.

b)

${\mu }_S=n\cdot {\mu }_x=100\cdot 1,00kg=100kg$

${\sigma }_S=\sqrt{n}\cdot {\sigma }_x=\sqrt{100}\cdot 0,05kg=10\cdot 0,05kg=0,5kg$

$S=100,5\Rightarrow z=\frac{100,5-100}{0,5}=\frac{0,5}{0,5}=1$

$S=99,5\Rightarrow z=\frac{99,5-100}{0,5}=\frac{-0,5}{0,5}=-1$

$$\begin{gathered} P(99,5\le S\le 100,5)=P(-1\le Z\le 1)=P(Z\le 1)-(1-P(Z\le 1)) \\ =0,84134-(1-0,84134)=0,84134-0,15866=0,68268 \end{gathered}$$

Sannsynligheten for at veksten av rugbrødene på en tilfeldig pall er mellom 99,5 kg og 100,5 kg er ca. 68,3%.

Oppgave 9

$g(x)=-5\cdot f(x)+3$

$g^{\prime }(x)=-5\cdot f^{\prime }(x)$. Det vil si at dersom $f^{\prime }(x)=0$, så er $g^{\prime }(x)=0$. $f(x)$ og $g(x)$ har derfor samme ekstremalpunkter. Derimot vil grafen til g synke når grafen til f stiger og omvendt, fordi $g^{\prime }(x)$ alltid har motsatt fortegn som $f^{\prime }(x)$.

Et toppunkt for $f$ er $(2,3)$. Det gir oss: $g(2)=-5\cdot f(2)+3=-5\cdot 3+3=-15+3=-12$

Et bunnpunkt for $f$ er $(3,-4)$. Det gir oss: $g(3)=-5\cdot f(3)+3=-5\cdot (-4)+3=20+3=23$

$g(x)$ har et bunnpunkt i $(2,-12)$ og et toppunkt i $(3,23)$.

DEL 2

Oppgave 1

a)

Bruker Geogebra til å utføre en regresjonsanalyse på punktene i tabellen. Velger polynomfunksjon av 3. grad som modell for kostnadene, h(x). Se skjermbildet under.

Jeg har funnet en modell for kostnaden, $h(x)=0,05x^3-1.97x^2+39,43x+501,02$

Inntekten er 80 kroner per enhet, og kan uttrykkes som $I(x)=80x$.

For å finne en modell for overskuddet, O(x), bruker jeg CAS i Geogebra, og regner ut O(x)=I(x)-h(x). Se skjermbildet under.

Jeg har dermed vist at funksjonen $O(x)=-0,05x^2+2,0x^2+41x-501$ (noe avrundet) er en god modell for det daglig overskuddet til bedriften ved produksjon av x enheter.