R1 2019 høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag del 2 fra Kristian Saug

Løsningsforslag (pdf) fra joes

Løsningsforslag fra Svein Arneson

DEL EN

a)

$$\begin{gathered} f(x)=x^4-2x+ln(x) \\ {f}^{\prime }(x)=4x^3-2+\frac{1}{x} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=x^7{e}^x \\ {g}^{\prime }(x)=7x^6{e}^x+x^7{e}^x=e^x{x}^6(7+x) \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} h(x)=\frac{ln(2x)}{x^2} \\ {h}^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{2x}\cdot 2\cdot x^2-2\cdot x\cdot ln(2x)}{x^4} \\ {h}^{\prime }(x)=\frac{1-2ln(2x)}{x^3} \end{gathered}$$

Oppgave 2

$$\begin{gathered} 4(ln(a\cdot b^3))-3(ln(a\cdot b^2))-ln(\frac{a}{b}) \\ 4ln(a)+12ln(b)-3ln(a)-6ln(b)-ln(a)+ln(b)=7ln(b) \end{gathered}$$

a)

Dersom P(x) skal deles på (x-2) og gå opp. må P(x) = 0, dvs. P(2) = 0

$$\begin{gathered} P(2)=0 \\ {2}^3+6\cdot 2^2+k\cdot 2-30=0 \\ 8+24+2k-30=0 \\ k=-1 \end{gathered}$$

b)

Bruker så ABC formel på svaret og får:

$$\begin{gathered} x^2+8x+15=0 \\ x=\frac{-8\pm \sqrt{64-4\cdot 1\cdot 15}}{2} \\ x=\frac{-8\pm 2}{2} \\ x=-5\vee x=-3 \end{gathered}$$

Faktorisert form: $x^3+6x^2-x-30=(x-2)(x+3)(x+5)$

Oppgave 5

a)

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot \frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=35\cdot 10=350$

Det er mulig å sette sammen 350 komiteer.

b)

P(Anne og Jens)$=\frac{3}{7}\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{35}$

Sannsynligheten for at både Anne og Jens blir med i komiteen er $\frac{6}{35}$

c)

P(Anne eller Jens) = P(Anne men ikke jens) + P(Jens men ikke Anne)

$$\begin{gathered} =\frac{3}{7}\cdot \frac{3}{5}+\frac{4}{7}\cdot \frac{2}{5} \\ =\frac{9}{35}+\frac{8}{35}=\frac{17}{35} \end{gathered}$$

Sannsynligheten for at én av dem blir med i komiteen er $\frac{17}{35}$

Oppgave 6

a)

Diagonal i rektangelet er alltid 2. Arealet er alltid $A=x\cdot \sqrt{4-x^2}$. Brukte pytagoras for å finne lengden av OC.

Areal av skravert område blir da

$A_{skravert}=\frac{1}{4}\pi \cdot 2^2-x\cdot \sqrt{4-x^2}=\pi -x\sqrt{4-x^2}$

b)

Deriverer F(x) og finner maksimumspunktet:

$$\begin{gathered} F^{\prime }(x)= \\ (\pi -x\sqrt{4-x^2}{)}^{\prime }= \\ -(1\cdot \sqrt{4-x^2}+x\cdot (-2x)\frac{1}{2}(4-x^2{)}^{-\frac{1}{2}})= \\ -(\sqrt{4-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}})= \\ -(\frac{(\sqrt{4-x^2})(\sqrt{4-x^2})}{(\sqrt{4-x^2})}-\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}})= \\ -\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{2(x-\sqrt{2}(x+\sqrt{2}}{\sqrt{4-x^2}} \end{gathered}$$

a)

CB er like lang som EB fordi begge linjestykker tangerer samme sirkelsektor ( i C og E).

b)

Begge trekantene har en felles vinkel i A. Begge trekanten har en vinkel på 90 grader (i C og E). Trekantene er derfor formlike.

Bruker formlikhet:

$$\begin{gathered} \frac{c-a}{r}=\frac{b}{c} \\ r=\frac{a(c-a)}{b} \end{gathered}$$

c)

Trekanten ABC har areal: $A=\frac{a\cdot b}{2}$

Fra figuren ser vi at trekantene CDB og ADB utgjør trekanten ABC

Areal CDB: $\frac{r\cdot a}{2}$

Areal: ADB: $\frac{c\cdot r}{2}$

Kombinerer:

$$\begin{gathered} \frac{r\cdot a}{2}+\frac{c\cdot r}{2}=\frac{a\cdot b}{2} \\ ra+rc=ab \\ r(a+c)=ab \end{gathered}$$

d)

$$\begin{gathered} a\cdot b=(a+c)\cdot r \\ ab=(a+c)\cdot \frac{a(c+a)}{b} \\ a{b}^2=(a^2+ac)(c-a) \\ a{b}^2=a^{2}c-a^3+a{c}^2-a^{2}c \\ a{b}^2=-a^3+a{c}^2 \\ {a}^2+b^2=c^2 \end{gathered}$$

Oppgave 3

a)

Ballene er i luften i henholdsvis 5,8 og 5 sekunder.

b)

Oppgave 4

a)

Skriver inn funksjonen f, og punktene P og Q. Bruker linjefunksjonen og får et uttrykk for linjen gjennom P og Q. Setter denne linjen lik f og får x koordinatene til R og Q

b)

Her viser vi at stigningstallene til tangentene multiplisert blir -1- Da står linjene normalt på hverandre. Du kan også bruke skalarprodukt.