S1 2019 høst LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Svein Arneson

Løsningsforslag del 1 laget av Emilga

Løsningsforslag del 2 laget av Kristian Saug

Oppgaven som pdf

DEL 1

Oppgave 1)

a)

$$\begin{gathered} x^2+4x-12=0 \\ (x-2)(x+6)=0 \\ x=-6\vee x=2 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} lg(5-2x)=1 \\ 5-2x=10 \\ -2x=5 \\ x=-\frac{5}{2} \end{gathered}$$

Oppgave 2)

$x^2-2x<0$

Finner nullpunktene.

$$\begin{gathered} x(x-2)=0 \\ x=0\vee x=2 \end{gathered}$$

$x^2-2x<0$ når $0<x<2$

Oppgave 3)

$$\begin{gathered} x^2+4y=4x \\ 4x-2y=6 \end{gathered}$$

Ganger likning II med 2 og bruker addisjonsmetoden.

Likning II ganger 2:

$8x-4y=12$

Legger sammen likningene:

$$\begin{gathered} x^2+4y+8x-4y=4x+12 \\ {x}^2+4x-12=0 \\ {x}_1=-6\vee x_2=2 \end{gathered}$$

(Samme likning som i oppgave 1a)

Gjør om likning II:

$$\begin{gathered} 4x-2y=6 \\ -2y=6-4x \\ y=-3+2x \end{gathered}$$

Setter inn de to x-verdiene:

$y_1=-3+2\cdot (-6)=-15$

$y_2=-3+2\cdot 2=1$

Løsninger:

$$\begin{gathered} x_1=-6,y_1=-15 \\ {x}_2=2,y_2=1 \end{gathered}$$

Oppgave 4)

a)

$$\begin{gathered} (a+2{)}^3-a\cdot (a+2{)}^2 \\ =(a+2)(a+2{)}^2-a\cdot (a+2{)}^2 \\ =(a+2{)}^2\cdot ((a+2)-a) \\ =(a^2+4a+4)\cdot 2 \\ =2a^2+8a+8 \end{gathered}$$

b)

$\frac{x+1}{x+2}-\frac{x+1}{x-1}-\frac{x+5}{x^2+x-2}$

$=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+2)(x-1)}-\frac{(x+1)(x+2)}{(x-1)(x+2)}-\frac{x+5}{(x+2)(x-1)}$

$=\frac{x^2-1}{(x+2)(x-1)}-\frac{x^2+3x+2}{(x-1)(x+2)}-\frac{x+5}{(x+2)(x-1)}$

$=\frac{(x^2-1)-(x^2+3x+2)-(x+5)}{(x+2)(x-1)}$

$=\frac{x^2-1-x^2-3x-2-x-5}{(x+2)(x-1)}$

$=\frac{-4x-8}{(x+2)(x-1)}$

$=\frac{-4(x+2)}{(x+2)(x-1)}$

$=\frac{-4}{x-1}=\frac{4}{1-x}$

c)

$2lg(2x^2)+lg\frac{5}{x}-lg(2x^3)$

$2lg2+2lg(x^2)+lg5-lgx-(lg2+lg(x^3))$

$2lg2+4lgx+lg5-lgx-lg2-3lgx$

$lg2+lg5=lg(2\cdot 5)=lg10=1$

Oppgave 5)

a)

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot \frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=35\cdot 10=350$

Det er mulig å sette sammen 350 komiteer.

b)

P(Anne og Jens)$=\frac{3}{7}\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{35}$

Sannsynligheten for at både Anne og Jens blir med i komiteen er $\frac{6}{35}$

c)

P(Anne eller Jens) = P(Anne men ikke jens) + P(Jens men ikke Anne)

$$\begin{gathered} =\frac{3}{7}\cdot \frac{3}{5}+\frac{4}{7}\cdot \frac{2}{5} \\ =\frac{9}{35}+\frac{8}{35}=\frac{17}{35} \end{gathered}$$

Sannsynligheten for at én av dem blir med i komiteen er $\frac{17}{35}$

Oppgave 6)

Kantene i Pascals trekant er alltid 1-ere. Ellers er et tall i Pascals trekant summen av de to tallene over. Utregning av de to midterste tallene som mangler:

$66-11=55$

$495-330=165$

Oppgave 7)

Opplysningene gir oss følgende likningssett, hvor x er prisen for skolegang for ett barn i én måned, og y er prisen for barnehjemsplass for ett barn i én måned.

$\left[\begin{array}{r}2x+y=700\\ 4x+3y=1700\end{array}\right]$

Uttrykker likning I ved y:

$y=700-2x$

Setter inn verdien av y i likning II:

$$\begin{gathered} 4x+3(700-2x)=1700 \\ 4x+2100-6x=1700 \\ -2x=-400 \\ x=200 \end{gathered}$$

Fra likning I:

$y=700-2\cdot 200=700-400=300$

Per barn per måned koster det 200kr for skolegang og 300kr for barnehjemsplass. For 20 barn blir det totalt:

$20\cdot 200kr+20\cdot 300kr=4000kr+6000kr=10000kr$

Klassen til Kari må samle inn 10 000 kr hver måned.

Oppgave 8)

a)

$$\begin{gathered} K(x)=0,2x^2+50x+2000 \\ {K}^{\prime }(x)=0,4x+50 \\ {K}^{\prime }(100)=0,4\cdot 100+50=40+50=90 \end{gathered}$$

$K^{\prime }(100)=90$ og dette forteller oss at kostnaden av å øke produksjonen fra 100 til 101 enheter er 90 kr.

b)

$$\begin{gathered} O(x)=-0,3x^2+90x-2000 \\ {O}^{\prime }(x)=-0,6x+90 \end{gathered}$$

Finner ekstremalpunktet for O(x):

$$\begin{gathered} O^{\prime }(x)=0 \\ -0,6x+90=0 \\ -0,6x=-90 \\ x=\frac{90}{0,6} \\ x=\frac{900}{6} \\ x=150 \end{gathered}$$

Vi ser at O(x) har et toppunkt i x=150. Den produksjonsmengden som gir størst overskudd er 150 enheter.

c)

$$\begin{gathered} O(x)=I(x)-K(x) \\ I(x)=O(x)+K(x) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} I(x)=(-0,3x^2+90x-2000)+(0,2x^2+50x+2000) \\ I(x)=-0,3x^2+0,2x^2+90x+50x-2000+2000 \\ I(x)=-0,1x^2+140x \end{gathered}$$

$I(100)=-0,1\cdot {100}^2+140\cdot 100=-0,1\cdot 10000+14000=-1000+14000=13000$

Inntekten ved produksjon og salg av 100 enheter per dag er 13 000 kr.

d)

$O(x)=I(x)-K(x)$

$$\begin{gathered} O(x)=-0,1x^2+a\cdot x-(0,2x^2+50x+2000) \\ O(x)=-0,1x^2-0,2x^2+a\cdot x-50x-2000 \\ O(x)=-0,3x^2+(a-50)x-2000 \end{gathered}$$

$O^{\prime }(x)=-0,6x+a-50$

Overskuddet er størst når bedriften produserer og selger 100 enheter per dag, altså har vi:

$O^{\prime }(100)=0$

$$\begin{gathered} -0,6\cdot 100+a-50=0 \\ -60+a-50=0 \\ a=110 \end{gathered}$$

Verdien til a er 110.

Oppgave 9

a)

La x være antall pakker av type A, og y være antall pakker av type B.

Klassen bruker 3 esker fargestifter per Pakke A, og 2 esker fargestifter per Pakke B. Klassen har maksimalt 70 esker fargestifter.

$$\begin{gathered} 3x+2y\le 70 \\ 2y\le 70-3x \\ y\le -1,5x+35 \end{gathered}$$

Klassen bruker 2 sprettballer per Pakke A, og 4 sprettballer per Pakke B. Klassen har maksimalt 72 sprettballer.

$$\begin{gathered} 2x+4y\le 72 \\ 4y\le 72-2x \\ y\le -0,5x+18 \end{gathered}$$

Klassen bruker 2 hoppestrikker per Pakke A, og 3 hoppestrikker per Pakke B. Klassen har maksimalt 60 hoppestrikker

$$\begin{gathered} 2x+3y\le 60 \\ 3y\le 60-2x \\ y\le -\frac{2x}{3}+20 \end{gathered}$$

I tillegg har vi $x\ge 0$ og $y\ge 0$ fordi klassen må lage 0 eller flere gavepakker (kan ikke lage et negativt antall gavepakker).

Dersom vi tegner disse fem ulikhetene i samme koordinatsystem, vil det skraverte området oppfylle alle ulikhetene samtidig.

b)

Vi sjekker de fire hjørnene i det skraverte området for å se hvilken fordeling av x og y som gir maksimalt antall gavepakker, x+y.

Hjørnet i (0,18) gir $0+18=18$ pakker totalt.

Hjørnet i (12,12) gir $12+12=24$ pakker totalt.

Hjørnet i (18,8) gir $18+8=26$ pakker totalt.

Hjørnet i ca. (23.5 ,0) gir $23+0=23.5$ pakker totalt.

Det maksimale antall gavepakker klassen kan lage er 18 pakker av type A og 8 pakker av type B, til sammen 26 pakker totalt.

DEL 2

Oppgave 1)

a)

Utfører regresjonsanalyse i Geogebra.

En eksponentiell modell brukes ofte for befolkningsvekst, og gir $g(x)=613.6\cdot {1.017}^x$. Vi kan se i statistikken (trykk på $\mathrm{\Sigma }x$ i Geogebra) at modellen passer godt fordi $R^2=0.9962$.

En lineær modell passer likevel enda bedre til dataene i dette tilfelle ($R^2=0.997$), og gir $g(x)=10.97x+613.34$.

b)

c)

Bruker CAS i Geogebra. Husk at folketallet i modellen $f$ er oppgitt i tusener.

Ifølge modellen $f$ vil folketallet passere 1 million etter 26,1 år. Denne oppgaven kan også løses grafisk.

d)

Definerer modellen $h(x)$ for befolkningsveksten i Stockholm (linje 2 i CAS).

$p$ må være 0,398 dersom Oslo skal ha samme folketall som Stockholm i januar 2050. Det vil si at Stockholm må ha en vekst i folketallet på 0,398% per år.

Oppgave 2)

La x være antall elbiler i 2018 og y være antall bensinbiler i 2018.

Forhandleren solgte 28 elbiler og 34 bensinbiler i 2018.

Oppgave 3)

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra i hele oppgaven.

a)

Sannsynligheten for at Jonas treffer blink på minst 8 av de 10 skuddene fra liggende stilling er ca. 93%.

b)

Sannsynligheten for at Jonas treffer blink på nøyaktig 9 skudd fra liggende stilling:

Sannsynligheten for at Jonas treffer blink på nøyaktig 8 skudd fra stående stilling:

P(9 treff liggende og 8 treff stående)$=0.3874\cdot 0.2856=0.11$

Sannsynligheten for at Jonas treffer blink på nøyaktig 9 skudd fra liggende stilling og nøyaktig 8 skudd fra stående stilling er 11%.

c)

For at Jonas skal treffe blink på minst 19 av 20 skudd, må han treffe enten 9 liggende og 10 stående, 10 liggende og 9 stående, eller 10 liggende og 10 stående. Finner sannsynligheten for hver hendelse i sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra.

Bruker CAS for å regne ut P(minst 19 av 20 treff) = P(9 treff liggende)*P(10 treff stående) + P(10 treff liggende)*P(9 treff stående) + P(10 treff liggende)*P(10 treff stående)

Sannsynligheten for at Jonas treffer blink på minst 19 av 20 skudd er 24,5%.

Oppgave 4)

a)

b)

Tangentene til $f$ er parallelle med x-aksen der den deriverte er lik 0, altså i ekstremalpunktene.

A=(-1,2) og B=(1,-2)

c)

De to tangentene er $y=9x+16$ og $y=9x-16$

d)

Dersom $a=\frac{1}{3}$ er $g^{\prime }(x)=0$ i bare ett punkt, og grafen til $g$ har derfor bare én tangent som er parallell med x-aksen.