S1 2019 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} 3^{x-5}=81 \\ {3}^{x-5}=3^4 \\ x-5=4 \\ x=9 \end{gathered}$$

b)

$x^2-7x+10=0$

Faktoriserer

$x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$

Finner nullpunktene:

$$\begin{gathered} (x-2)(x-5)=0 \\ x=2\vee x=5 \end{gathered}$$

Kan også bruke abc - formelen for faktorisering.

c)

$$\begin{gathered} lg(x+3)-lgx=1x>0 \\ lg(\frac{x+3}{x})=1 \\ {10}^{lg(\frac{x+3}{x})}={10}^1 \\ \frac{x+3}{x}=10 \\ x+3=10x \\ 9x=3 \\ x=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

$$\begin{gathered} \frac{{16}^2\cdot {27}^3}{{72}^2\cdot 12} \\ =\frac{(2^4{)}^2\cdot (3^3{)}^3}{(2^3\cdot 3^2{)}^2\cdot 2^2\cdot 3} \\ =\frac{2^8\cdot 3^9}{2^6\cdot 3^4\cdot 2^2\cdot 3} \\ =\frac{2^8\cdot 3^9}{2^8\cdot 3^5} \\ =2^{8-8}\cdot 3^{9-5}=2^0\cdot 3^4=3^4=81 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \frac{x-2}{x-1}-\frac{x}{x+1}-\frac{2x}{x^2-1} \\ =\frac{(x-2)\cdot (x+1)}{(x-1)\cdot (x+1)}-\frac{x\cdot (x-1)}{(x+1)\cdot (x-1)}-\frac{2x}{(x+1)(x-1)} \\ =\frac{(x^2+x-2x-2)-(x^2-x)-2x}{(x-1)(x+1)} \\ =\frac{x^2+x-2x-2-x^2+x-2x}{(x-1)(x+1)} \\ =\frac{-2x-2}{(x-1)(x+1)} \\ =\frac{-2(x+1)}{(x-1)(x+1)} \\ =-\frac{2}{x-1} \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} lg(\frac{2}{x^2})+lg(2x^2)+lg(x)-lg(4x) \\ =(lg(2)-lg(x^2))+(lg(2)+lg(x^2))+lg(x)-(lg(4)+lg(x)) \\ =lg(2)-2lg(x)+lg(2)+2lg(x)+lg(x)-lg(2^2)-lg(x) \\ =2lg(2)+lg(x)-2lg(2)-lg(x) \\ =0 \end{gathered}$$

Oppgave 3

$\left[\begin{array}{r}{x}^2+2y=13x\\ 3x-y=-5\end{array}\right]$

Løser andre likning og setter inn i den første.

$y=3x+5$

Vi setter inn for y i den første likningen:

$$\begin{gathered} x^2+2(3x+5)=13x \\ {x}^2+6x+10=13x \\ {x}^2-7x+10=0 \end{gathered}$$

Fra oppgave 1b) har vi at $x_1=2$ og $x_2=5$

Fra andre likning har vi:

$y_1=3\cdot 2+5=11$

$y_2=3\cdot 5+5=20$

Løsning: $x_1=2$, $y_1=11$ og $x_2=5$, $y_2=20$

Oppgave 4

a)

Pris brus = x og pris pølse = y.

$\left[\begin{array}{r}6x+4y=170\\ 5x+10y=275\end{array}\right]$

b)

Løser likning II med hensyn på x:

$$\begin{gathered} 5x=275-10y \\ x=55-2y \end{gathered}$$

setter så uttrykket for x inn i likning I:

$$\begin{gathered} 6(55-2y)+4y=170 \\ 330-12y+4y=170 \\ -8y=-160 \\ y=20 \end{gathered}$$

Setter inn y=20 i likning II:

$x=55-2\cdot 20=55-40=15$

En brus koster 15 kroner og en pølse koster 20 kroner.

Oppgave 5

a)

$$\begin{gathered} f(x)=x^3+3x \\ {f}^{\prime }(x)=3x^2+3 \\ {f}^{\prime }(1)=3\cdot 1+3=6 \end{gathered}$$

Når x =1 har funksjonen en momentan vekstfart på 6.

b)

Den deriverte er positiv for alle verdier av x, derfor er funksjonen voksende og har kun positive tangenter.

c)

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=15 \\ 3x^2+3=15 \\ 3x^2=12 \\ {x}^2=4 \\ x=\pm 2 \end{gathered}$$

Oppgave 8

a)

Omkrets: $$\begin{gathered} O=4y+8x=12 \\ 4y=12-8x \\ y=3-2x \end{gathered}$$

Areal: $$\begin{gathered} A=y^2+2x^2 \\ A(x)=(3-2x{)}^2+2x^2 \\ A(x)=9-12x+4x^2+2x^2 \\ A(x)=6x^2-12x+9 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} A^{\prime }(x)=12x-12 \\ {A}^{\prime }(x)=0 \\ 12x-12=0 \\ x=1 \end{gathered}$$

Innsatt for y: $$\begin{gathered} y=3-2x \\ y=3-2\cdot 1 \\ y=1 \end{gathered}$$

Det minste arealet får man når både x = 1 og y = 1.