R2 2020 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Quiz (diskusjon | bidrag)
Quiz (diskusjon | bidrag)
Linje 286: Linje 286:
===b)===
===b)===


Bruker Geogebra til å tegne grafen til f og f for t[0,12]. Finner toppunktet til f med kommandoen <i>Ekstremalpunkt</i>, som er vendepunktet i den voksende delen av f.
Bruker Geogebra til å tegne grafen til f og f for t[0,12]. Finner toppunktet til f, punkt B, med kommandoen <i>Ekstremalpunkt</i>. x-verdien til punkt B er den samme som vendepunktet i den voksende delen av f.


[[File: R2_V20_del2_1b.png]]
[[File: R2_V20_del2_1b.png]]
Linje 294: Linje 294:
===c)===
===c)===


===b)===
===d)===

Sideversjonen fra 11. jul. 2020 kl. 08:16

oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsning del 1 av Kristian Saug

Løsning del 2 av Kristian Saug

Løsning del 1 og del 2 av Lektor Trandal

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

DEL 1

Oppgave 1

a)

f(x)=xsinx

f(x)=sinx+xcosx

b)

g(x)=cos(x2)x

g(x)=2xsin(x2)xcos(x2)1x2=2x2sin(x2)cos(x2)x2

Oppgave 2

a)

(x2+3+e2x)dx=13x3+3x+12e2x+C

b)

Bruker variabelskifte, der u=x2

dudx=2xdx=du2x

6xsin(x2)dx=32xsin(u)du2x=3sin(u)du=3cos(u)+C=3cos(x2)+C

c)

Bruker delvis integrasjon, der u=lnxu=1x og v=xv=12x2

Finner det ubestemte integralet:

xlnxdx=12x2lnx1x12x2dx=12x2lnx12xdx=12x2lnx14x2+C

Finner det bestemte integralet:

1exlnxdx=[12x2lnx14x2]1e=(12e2lne14e2)(1212ln11412)=(24e2114e2)(12014)=14e2+14

Oppgave 3

a)

Finner a5:

S5=a1+a52555=3+a525a5=55523a5=19

Finner differensen:

d=a5a151d=1934d=4

Finner a10:

a10=a1+(101)da10=3+94a10=39

Finner summen av de 10 første leddene:

S10=a1+a10210S10=3+39210S10=210

b)

Dersom 1<k<1 i en geometrisk tallfølge an=a1kn1 sier vi at den konvergerer.

I slike tilfeller er limnSn=a11k

I rekken 7+72+74+... er an=712n1

Vi har k=12 og rekken konvergerer derfor.

Bestemmer summen av rekken:

limnSn=7112=712=14

Oppgave 4

f(x)=2sin(πx+π)1,x1,3

a)

f(x)=2πcos(πx+π),x1,3

Setter f(x)=0

2πcos(πx+π)=0cos(u)=0u=π2+kππx+π=π2πx+π=3π2πx+π=5π2πx+π=7π2x=12x=12x=32x=52

Finner y-koordinatene til ekstremalpunktene (vet at en sinusfunksjon kun har topp- og bunnpunkter, og ingen terrassepunkter):

f(12)=2sin(π2+π)1=2sin(π2)1=211=1

f(12)=2sin(π2+π)1=2sin(3π2)1=2(1)1=3

f(32)=2sin(3π2+π)1=2sin(5π2)1=211=1

f(52)=2sin(5π2+π)1=2sin(7π2)1=2(1)1=3

Toppunkter: (12,1) og (32,1)

Bunnpunkter: (12,3) og (52,3)

b)

Skjæring med y-aksen:

f(0)=2sin(π0+π)1=2sin(π)1=01=1

Grafen til f skjærer y-aksen i punktet (0,1). Vi kan også se dette av funksjonsuttrykket.

Skjæring med x-aksen; setter f(x)=0

2sin(πx+π)1=0sin(πx+π)=12sin(u)=12u=π6+k2πu=5π6+k2ππx+π=π6πx+π=5π6πx+π=13π6πx+π=17π6x=56x=16x=76x=116

Grafen til f skjærer x-aksen i punktene (56,0),(16,0),(76,0),(116,0).

c)

Bruk ekstremalpunktene og nullpunktene, samt skjæring med y-aksen, til å lage en skisse for hånd.

Oppgave 5

Vi har punktene A(-1,3,2), B(2,2,1), C(0,1,0) og T(5,3,8).

a)

AB=[2(1),23,12]=[3,1,1]

AC=[0(1),13,02]=[1,2,2]

AB×AC=[(1)(2)(1)(2),(1)13(2),3(2)(1)1]=[22,1+6,6+1]=[0,5,5]

b)

AT=[5(1),33,82]=[6,0,6]

V=|(AB×AC)AT|6=|[0,5,5][6,0,6]|6=|06+50+(5)6|6=|30|6=306=5

Volumet av pyramiden ABCT er 5.

c)

Likningen for et plan er

a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0

Der a, b og c er koordinatene til planets normalvektor, og (x0,y0,z0) er et punkt i planet.

Vi har planets normalvektor [0,5,5] og et punkt i planet A(-1,3,2).

Vi får da likning for planet som inneholder punktene A, B og C:

0(x(1))+5(y3)+(5)(z2)=05y155z+10=05y5z=5yz=1

Oppgave 6

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

2+lnx+(lnx)22+...

a)

Vi har kvotienten k=lnx2. Rekken konvergerer når lnx21,1. Løser ulikhetene:

lnx2>1lnx>2x>e2

og

lnx2<1lnx<2x<e2

Rekken konvergerer når xe2,e2

b)

Summen av rekken er gitt ved

S(x)=a11k4=21lnx24(1lnx2)=242lnx=22lnx=2lnx=1x=e

Summen av rekken blir 4 når x=e.

Oppgave 7

Vi har differensiallikningen 2xy3y=0

Sjekker stigningstallet til tangenten i hvert av punktene:

Punkt A(2,2): 22y32=04y6=0y=32

Punkt B(-2,2): 2(2)y32=04y6=0y=32

Punkt C(-2,-2): 2(2)y3(2)=04y+6=0y=32

Punkt D(2,-2): 22y3(2)=04y+6=0y=32

Den markerte tangentretningen samsvarer med retningen til tangenten til integralkurven som går gjennom punkt B og C, men ikke A og D. I punkt A viser den markerte tangentretningen stigningstall 0, og i punkt D stigningstall 14, noe som ikke passer med tangenten til integralkurven i disse to punktene.

Oppgave 8

Linje l, som står normalt på planet α, gjennom punktet P(-3,7,-1):

l:[x=32sy=7+2sz=1s]

Linja m, som står normalt på planet β, gjennom punktet Q(-4,5,-2):

m:[x=47ty=5+4tz=24t]

Skjæringspunktet mellom linje l og m er sentrum i kula. Finner skjæringspunktet S, ved å løse likningssettet:

I32s=47tII7+2s=5+4tIII1s=24t

Finner et uttrykk for s:

IIIs=1+4t

Setter inn uttrykket for s i likning I, og finner t:

I32(1+4t)=47t328t=47tt=1

Setter inn uttrykket for t i uttrykket for s fra likning III. (Dette for å kunne sjekke at likningssettet er riktig løst):

s=1+4(1)=14=3

Setter inn t = -1 i parameterfremstillingen for linje m, og finner punktet S:

x=47(1)=4+7=3y=5+4(1)=54=1z=24(1)=2+4=2

Sentrum i kula er S(3,1,2). Bestemmer radius til kula:

QS=[3(4),15,2(2)]=[7,4,4]

|QS|=72+(4)2+42=49+16+16=81=9

Radius i kula er 9. Finner likning for kuleflaten:

(x3)2+(y1)2+(z2)2=92

Oppgave 9

En følge er gitt ved a1=2 og an=an1+n. Vi skal vise at an=n2+n+22 for alle n\N.

1. Induksjonsgrunnlag: n=1 gir a1=12+1+22=42=2. Påstanden stemmer for n=1.

2. Induksjonstrinnet: Vi antar at ak=k2+k+22. Med n=k+1 får vi ak+1=(k+1)2+(k+1)+22, som vi skal vise.

Vi har an=an1+n. Setter inn n=k+1:

ak+1=ak+(k+1)ak+1=k2+k+22+(k+1)ak+1=k2+k+22+2k+22ak+1=k2+2k+1+n+32ak+1=(k+1)2+(k+1)+22

Hvilket skulle vises.

DEL 2

Oppgave 1

a)

Bruker Geogebra til å utføre en regresjonsanalyse.

En trigonometrisk funksjon som passer godt med informasjonen i tabellen er:

f(x)=1108,5+442,8sin(0,52x+1,16)

b)

Bruker Geogebra til å tegne grafen til f og f for t[0,12]. Finner toppunktet til f, punkt B, med kommandoen Ekstremalpunkt. x-verdien til punkt B er den samme som vendepunktet i den voksende delen av f.

Ifølge modellen økte forbruket raskest den 10. måneden, altså oktober.

c)

d)