2P 2022 vår K06 LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

DEL 1

Oppgave 1

a)

Skriver tallene i stigende rekkefølge:

2 2 4 4 5 5 5 6 6 10

Medianen gjennomsnittet av de to midterste tallene, som begge er 5. Medianen er altså $5$.

Gjennomsnitt: $\frac{2+2+4+4+5+5+5+6+6+10}{10}=\frac{49}{10}=4,9$

Typetallet er det tallet som forekommer flest ganger, nemlig $5$.

Variasjonsbredden er differansen mellom det høyeste og det laveste tallet: $10-2 = 8$

b)

For å finne relativ frekvens for fem fjellturer, tar vi antall forekomster av 5 fjellturer, og deler på antall år med fjellturer:

$\frac{3}{10}=0,3$.

Det forteller oss at 30% av årene, har Sebastian gått 5 fjellturer.

For å finne kumulativ frekvens, legger vi sammen antall forekomster av 5 eller færre fjellturer i året:

$2+2+3 = 7$

Det forteller oss at 7 av årene, har Sebastian gått 5 eller færre fjellturer i året.

Oppgave 2

$\frac{5\cdot 10^6+1,5\cdot 10^7}{2,5\cdot 10^{-6}}$

$ = \frac{5\cdot 10^6+15\cdot 10^6}{2,5\cdot 10^{-6}}$

$ = \frac{20\cdot 10^6}{2,5\cdot 10^{-6}}$

$ = 8\cdot 10^{6-(-6)}$

$ = 8\cdot 10^{12}$

Oppgave 3

a)

Finner 5 % av 600 000 kr:

10 % av 600 000 kr er 60 000 kr. 5 % av 600 000 kr er derfor 30 000 kr.

Verdien av båten om ett år vil være:

600 000 kr - 30 000 kr = 570 000 kr.

b)

Eirik tror at båtens verdi synker lineært med 30 000 kr per år. Til sammen 30 000 kr * 5 = 150 000 kr, som ville gi båten en pris på 450 000 kr om 5 år.

Det kan ikke stemme at båtens verdi synker like mye hvert år, fordi båtens verdi synker eksponentielt (det er en prosentvis nedgang). Det første året synker båtens verdi med 5 % av 600 000 kr, som er 30 000 kr. Det andre året er båten verdt 570 000 kr, og båtens verdi vi synke med 5 % av 570 000 kr, som er mindre enn 30 000 kr. Båtens verdi synker altså med et mindre beløp for verdt år.

Oppgave 4

a)

$K(x)=ax+b$

Vi har punktene (8,54) og (16,58) på grafen.

Finner stigningstallet a: $\frac{58-54}{16-8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

Stigningstallet forteller oss at kartlaven vokser med en halv mm i diameter per år. Jeg antar at det er snakk om ett individ av kartlav.

Finner konstantleddet b: $54-\frac{1}{2}\cdot 8 = 54 - 4 = 50$

Konstantleddet forteller oss at den observerte kartlaven hadde en diameter på 50 mm ved første observasjon.

b)

I løpet av 200 år øker diameteren med kartlaven med $\frac{1}{2} mm/ år \cdot 200\, år = 100 \, mm$, det vil si $10\, cm$.

Oppgave 5

Antall krabber	Klassemidtpunkt (m)	Antall dager (f)	m*f
[0,20>	10	5	50
[20,30>	25	10	250
[30,40>	35	10	350
[40,60>	50	15	750
[60,100>	80	20	1600
Sum		60	3000

Gjennomsnitt: $\frac{3000}{60} = 50$

Det var i gjennomsnitt 50 krabber per dag i teinene.

b)

Den 30. dagen (av 60) ligger 5 dager "inn" i klassen [40,60> krabber. Vi antar at antall krabber funnet de 15 dagene i klassen [40,60> er jevnt fordelt i klassen. Tar klassebredden delt på antall dager i klassen, ganger 5:

Medianen vi være $\frac{20}{15}\cdot 5 = 20\cdot \frac{1}{3} \approx 7$ krabber "inn" i klassen, altså 47. Stian kan altså ha rett.

c)

Det er ikke sikkert at antall krabber funnet de 15 dagene i klassen [40,60> er helt jevnt fordelt. Det kan like gjerne være at de fant 59 krabber i 15 dager. Dette vet vi ikke, men kanskje Sebastian har en formening om det? Han kan altså ha rett, men vi vet det ikke sikkert.

d)

Antall krabber	Klassebredde (b)	Antall dager (f)	Histogramhøyde (f/b)
[0,20>	20	5	0,25
[20,30>	10	10	1
[30,40>	10	10	1
[40,60>	20	15	0,75
[60,100>	40	20	0,5

Siden dette er del 1, må du tegne histogrammet for hånd.

Oppgave 6

a)

Jeg tegner figur 5 ved å følge mønsteret, og finner 65 sirkler i figur nr. 5.

Jeg tenker meg at figuren består av et kvadrat i midten, som har $5^2= 25$ sirkler. Den har i tillegg 4 trekanter, som hver har $\frac{4\cdot 5}{2}=10 $ sirkler. Til sammen har figuren $25+10\cdot 4=65$ sirkler.

b)

Jeg følger logikken fra oppgave a). Figur nr. n vil ha et kvadrat i midten, med $n^2$ sirkler. Den vil i tillegg ha 4 trekanter som hver har $\frac{(n-1)n}{2}$ sirkler. Til sammen har figuren $n^2 + 4\cdot \frac{(n-1)n}{2} = n^2 + 2n(n-1) = n^2 + 2n^2 -2n = 3n^2 - 2n $ sirkler. Det kan også skrives som $(3n-2)n$ sirkler.

DEL 2

Oppgave 1

a)

$N(x)=5,0\cdot\frac{1}{2}^{0,125x}$

$N(0)=5,0\cdot\frac{1}{2}^{0} = 5,0 \cdot 1 = 5,0$

Massen jod-131 som er i beholderen i utgangspunktet er 5,0 mikrogram.

b)

c)

Tegner linjen y=2.5 og bruker "skjæring mellom to objekter" for å finne skjæringspunktet mellom linja og grafen til N. Finner en halveringstid på 8 dager (se punkt A).

d)

Tegner punktene B=(6,N(6)) og C=(40,N(40)). Lager en linje mellom de to punktene ved å bruke knappen "Linje". Bruker knappen "Stigning" til å finne stigningstallet til linja. Stigningstallet er -0.083 mikrogram per dag. Dette er den gjennomsnittlige vekstfarten fra dag 6 til dag 40. Det forteller oss at massen jod-131 minker med gjennomsnittlig 0,083 mikrogram per dag mellom den 6. og den 40. dagen.

e)

Lager punktet D=(20,N(20)) og bruker knappen "Tangenter" til å finne tangenten til grafen N i punktet D. Bruker knappen "Stigning" til å finne stigningstallet, som er -0.077 mikrogram per dag. Det forteller oss at den 20. dagen, så synker massen jod-131 med en fart på 0.077 mikrogram per dag.

Oppgave 2

a)

Dette er en omvendt proporsjonal sammenheng. Modellen som heg tegner i Geogebra blir:

$f(x)=\frac{8000}{x}$

Punktet A=(5,1600) forteller at dersom 5 personer blir med på hytta, må hver person betale 1600 kroner.

b)

Bruker CAS i Geogebra til å finne prosent årlig vekst (det er også mulig å finne ved prøving og feiling). Finner en vekst på ca. 7,18 % per år. Vekstfaktoren blir da 1.0718, og den eksponentielle modellen blir:

$g(x)=30000\cdot 1.0718^x$

Punktet B=(5,42431) forteller oss at i starten av det 5. året, så er antall innbyggere 42431 personer, ifølge modellen.

Oppgave 3

$G = \frac{410000}{1,07^4\cdot 1,025^3\cdot 0,96^3}$

$G \approx 328294$

Verdien av Trines andel i fondet for 10 år siden var omtrent 328 294 kroner.

Oppgave 4

a)

Oppgaven kan løses i CAS, men regneark er også nokså egnet. Jeg viser med regneark, siden CAS ikke er en obligatorisk del av dette faget.

1. januar 2032, vil Amalie ha ca. 46 083 kroner på konto.