S2 2024 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag av Ståle Gjelsten

DEL 1

Oppgave 1

$f(x)=-x^3+3x$

a)

${\int }_{-1}^{0}f(x)dx={\int }_{-1}^0(-x^3+3x)dx$

$=[-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2{]}_{-1}^0$

$=0-(-\frac{1}{4}+\frac{3}{2})$

$=\frac{1}{4}-\frac{6}{4}$

$=-\frac{5}{4}$

b)

Finner nullpunktene til f:

$-x^3+3x=0$

$-x(x^2-3)=0$

$-x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$

Nullpunkter: $x=-\sqrt{3},x=0,x=\sqrt{3}$

Vi har ingen nullpunkter i intervallene $[-1,0⟩$ og $⟨0,1]$

Beregner arealet av området avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene x=0 og x=1:

${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1(-x^3+3x)dx$

$=[-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2{]}_0^1$

$=(-\frac{1}{4}+\frac{3}{2})-0$

$=-\frac{1}{4}+\frac{6}{4}$

$=\frac{5}{4}$

Samlet areal er summen av arealene i intervallene $[-1,0]$ og $[0,1]$

$A=|-\frac{5}{4}|+\frac{5}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2,5$

Arealet av området som er avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene x = −1 og x = 1 er 2,5.

Oppgave 3

a)

Eleven prøver å finne hvor mange ledd det trengs i en rekke før summen av rekken blir større enn 200. Hvert ledd er gitt ved $a_n=4n-2$, og første ledd har n=1.

b)

Vi har en aritmetisk rekke, fordi differansen mellom hvert ledd alltid er den samme (4 i dette tilfellet). Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved $S=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$

$n\cdot \frac{2+(4n-2)}{2}=200$

$\frac{4n^2}{2}=200$

$2n^2=200$

$n=\sqrt{100}$ (ingen negativ løsning fordi vi ser etter et positivt antall ledd)

$n=10$

Eleven får skrevet ut verdien 10, som vil si at det summen av de 10 første leddene i rekken er 200 eller mer.