R2 2024 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag Lektor Seland

DEL 1

Oppgave 1

$f(x)=-x^3+3x$

a)

${\int }_{-1}^{0}f(x)dx={\int }_{-1}^0(-x^3+3x)dx$

$=[-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2{]}_{-1}^0$

$=0-(-\frac{1}{4}+\frac{3}{2})$

$=\frac{1}{4}-\frac{6}{4}$

$=-\frac{5}{4}$

b)

Finner nullpunktene til f:

$-x^3+3x=0$

$-x(x^2-3)=0$

$-x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$

Nullpunkter: $x=-\sqrt{3},x=0,x=\sqrt{3}$

Vi har ingen nullpunkter i intervallene $[-1,0⟩$ og $⟨0,1]$

Beregner arealet av området avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene x=0 og x=1:

${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1(-x^3+3x)dx$

$=[-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2{]}_0^1$

$=(-\frac{1}{4}+\frac{3}{2})-0$

$=-\frac{1}{4}+\frac{6}{4}$

$=\frac{5}{4}$

Samlet areal er summen av arealene i intervallene $[-1,0]$ og $[0,1]$

$A=|-\frac{5}{4}|+\frac{5}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2,5$

Arealet av området som er avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene x = −1 og x = 1 er 2,5.

Oppgave 2

Setter $u=sin(x)$. Da er $u^{\prime }=cos(x)$

$u^{\prime }=\frac{du}{dx}\Rightarrow dx=\frac{du}{u^{\prime }}$

$\int si{n}^3(x)\cdot cos(x)dx$

$=\int u^3\cdot u^{\prime }\frac{du}{u^{\prime }}$

$=\int u^{3}du$

$=\frac{1}{4}{u}^4+C$

$=\frac{1}{4}si{n}^4(x)+C$

Oppgave 3

a)

Eleven prøver å finne hvor mange ledd det trengs i en rekke før summen av rekken blir større enn 200. Hvert ledd er gitt ved $a_n=4n-2$, og første ledd har n=1.

b)

Vi har en aritmetisk rekke, fordi differansen mellom hvert ledd alltid er den samme (4 i dette tilfellet). Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved $S=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$

$n\cdot \frac{2+(4n-2)}{2}=200$

$\frac{4n^2}{2}=200$

$2n^2=200$

$n=\sqrt{100}$ (ingen negativ løsning fordi vi ser etter et positivt antall ledd)

$n=10$

Eleven får skrevet ut verdien 10, som vil si at det summen av de 10 første leddene i rekken er 200 eller mer.

Oppgave 4

a)

$\overrightarrow{AC}=[2-1,0-1,-1-0]=[1,-1,-1]$

$\overrightarrow{AB}=[4-1,1-1,1-0]=[3,0,1]$

$\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}=[1,-1,-1]\times [3,0,1]$

$=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 1& -1& -1\\ 3& 0& 1\end{array}\right|$

$=-\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$

$=[-1,-4,3]$

Arealet av paralellogrammet utspent av $\overrightarrow{AC}$ og $\overrightarrow{AB}$:

$|[-1,-4,3]|=\sqrt{(-1{)}^2+(-4{)}^2+3^2}=\sqrt{26}$

Arealet av trekant ABC:

$\frac{\sqrt{26}}{2}$

b)

$h=\frac{|\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3^2+0^2+1^2}}=\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{13}{5}}$

c)

Vi har allerede normalvektoren for planet, gitt ved $\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}=[-1,-4,3]$. Bruker punktet $P(-2,1,4)$ for å få en parameterfremstilling av linja.

$l=\{\begin{array}{l}x=-2-t\\ y=1-4t\\ z=4+3t\end{array}$

d)

Vi har $P(-2,1,4),{\overrightarrow{n}}_{\alpha }=[-1,-4,3],D(0,0,z)$

Retningsvektoren til planet står 90 grader på planet. Den vil altså også stå 90 grader på en linje m som er parallell til planet. Skalarproduktet mellom retningsvektoren til planet og retningsvektoren til linja m må være lik 0.

Retningsvektor til linja m: $\overrightarrow{PD}=[0-(-2),0-1,z-4]=[2,-1,z-4]$

$\overrightarrow{PD}\cdot {\overrightarrow{n}}_{\alpha }=0$

$[2,-1,z-4]\cdot [-1,-4,3]=0$

$2\cdot (-1)+(-1)\cdot (-4)+(z-4)\cdot 3=0$

$-2+4+3z-12=0$

$3z=12+2-4$

$z=\frac{10}{3}$

Vi har $D(0,0,\frac{10}{3})$

Oppgave 5

$f(x)=2\cdot sin(\frac{\pi }{6}x-\frac{\pi }{3})-1,D_f=⟨0,20⟩$

a)

$f(x)=0$

$2\cdot sin(\frac{\pi }{6}x-\frac{\pi }{3})-1=0$

$sin(\frac{\pi }{6}x-\frac{\pi }{3})=\frac{1}{2}$

$\frac{\pi }{6}x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k\cdot 2\pi \vee \frac{\pi }{6}x-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k\cdot 2\pi$

$\frac{\pi }{6}x=\frac{3\pi }{6}+k\cdot 2\pi \vee \frac{\pi }{6}x=\frac{7\pi }{6}+k\cdot 2\pi$

$x=3+12k\vee x=7+12k$

Siden $D_f=⟨0,20⟩$, har vi $x=3\vee x=7\vee x=15\vee x=19$.

b)

Generelt har vi $f(x)=Asin(kx+\varphi )+d$

Amplituden er $A=2$

Likevektslinja er $d=-1$

Periode: $p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{6}}=12$

Forskyvning langs likevektslinja: $x_f=-\frac{\varphi }{k}=-\frac{-\frac{\pi }{3}}{\frac{\pi }{6}}=2$

DEL 2

Oppgave 1

$\overrightarrow{r}(t)=[30t,5t,7t-4,9t^2]$

Bruker CAS i Geogebra.

a)

Farten til ballen idet den blir skutt (etter 0 sekunder) er ca. 31,2 m/s. Se linje 2 i CAS.

b)

Vi finner tidene for når ballen er på bakken. Det er etter 0 sekunder (fraspark) og 10/7 sekunder (når ballen lander igjen). Se linje 4 i CAS. Vi finner posisjonen etter 10/7 sekunder. Se linje 5 i CAS.

Ballen er ca. 43,4 meter fra hjørnemerket når den treffer fotballbanen igjen.

c)

Det er z-aksen som angir høyden på ballen. Vi finner tiden når ballen er på sitt høyeste. Det er etter 5/7 sekunder (se linje 5 og 6 i CAS).

Farten er da 30,4 m/s (se linje 7 i CAS).

Høyden til ballen er da 2,5 meter over bakken (se på z-koordinaten på linje 8 i CAS).

Oppgave 4

a)

$a_n=n^3$

$a_{n+1}=(n+1{)}^3$

Rekursiv formel for summen av rekken:

$S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=S_n+(n+1{)}^3$

Eksplisitt formel for summen av rekken, finner vi ved regresjon i Geogebra:

$S_n=0,25n^4+0,5n^3+0,25n^2$

b)

c)

Vi skal bevise $S_n:1^3+2^3+3^3+...+n^3=0,25n^4+0,5n^3+0,25n^2$

Vi sjekker først om formelen stemmer for n=1 (se linje 2 i CAS). Formelen stemmer for n=1, siden $S_1=1^3=1$.

Vi antar nå at formelen stemmer for n = k, og sjekker om formelen stemmer for n = k + 1. Da vil $S_{k+1}=1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1{)}^3=S_k+(k+1{)}^3$. Se linje 3 og 4 i CAS.

Vi har nå vist at dersom formelen stemmer for n=k , må den også stemme for n=k+1. Siden formelen stemmer for n=1, stemmer den for n=2, osv. $S_k\Rightarrow S_{k+1}$.