Lineær algebra

Lineær Algebra

Lineær algebra er en gren av matematikken som omhandler vektorer, matriser og lineære transformasjoner. Dette fagfeltet er fundamentalt i mange vitenskaper, inkludert fysikk, datafag og ingeniørfag.

Vektorer

En vektor er en størrelse som har både retning og størrelse. For eksempel kan vi representere en vektor i det tredimensjonale rommet slik:

$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 5\end{array}\right]$

Vi kan legge sammen to vektorer ved å addere deres respektive komponenter:

$\mathbf{a}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right]$

$\mathbf{a}+\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}1+4\\ 2+5\\ 3+6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 7\\ 9\end{array}\right]$

Du støter på vektorer i R1 og R2. Skriver man dem oftest horisontalt. En vektor i rommet kan da skrives $[x,y,z]$. I ditt videre studie vil du trolig treffe på engelskspråklige lærebøker. Da er denne skrivemåten vanlig: $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$. Det er bare forskjellige måter å uttrykke det samme på.

Matriser

En matrise er en tabell av tall som består av rader (bortover) og kolonner (nedover). Matrisen A nedenfor, har tre rader og fire kolonner.

$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 4& 2\\ 0& 0& 3& 7\\ 2& 2& 1& 4\end{array}\right]$

Matrisen er en 3 x 4 matrise. Det gir oss dimensjonen på matrisen, 3 rader og 4 kolonner. Generelt snakker vi om m x n matriser, der m er antall rader og n antall kolonner. Matrisen består 12 elementer, alle med en unik posisjon. Generellt:

$$A=(a_{ij})=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\right]$$

Indeksene i og j er nummeret på henholdsvis radnummer og kolonnenummer.

Matriseaddisjon (og subtraksjon)

Dersom matrisene har samme dimensjon kan de legges sammen. Man legger da sammen elementene i samme posisjon.

Matriser med samme dimensjon kan adderes og subtraheres. Resultatet blir en matrise med samme dimensjon som disse.

$$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}\end{array}\right]$$

Eksempel 1:

$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1+5& 2+6\\ 3+7& 4+8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6& 8\\ 10& 12\end{array}\right]$$

Matrisemultiplikasjon

Med en skalar (tall)

Multiplikasjon av en matrise med en skalar gjøres ved å multiplisere hvert element i matrisen, med skalaren.

$$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$$

$$kA=k\cdot \left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}k\cdot a_{11}& k\cdot a_{12}\\ k\cdot a_{21}& k\cdot a_{22}\end{array}\right]$$

Eksempel 2:

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$

Multiplikasjon av en matrise med en skalar gjøres ved å multiplisere hvert element i matrisen, med skalaren:

$$3A=\left[\begin{array}{cc}3& 6\\ 9& 12\end{array}\right]$$

Eksempel 3: Hvis vi bruker en negativ skalar, f.eks. $k=-2$:

$$-2\cdot \left[\begin{array}{cc}5& -1\\ 0& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2\cdot 5& -2\cdot (-1)\\ -2\cdot 0& -2\cdot 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-10& 2\\ 0& -8\end{array}\right]$$

La $A$ og $B$ være matriser av samme dimensjon og $k,m$ være skalarer. Da gjelder følgende regler:

• Distributivitet over matriseaddisjon:

$$k\cdot (A+B)=k\cdot A+k\cdot B$$

• Distributivitet over skalarmultiplikasjon:

$$(k+m)\cdot A=k\cdot A+m\cdot A$$

• Assosiativitet for skalarer:

$$k\cdot (m\cdot A)=(k\cdot m)\cdot A$$

• Nøytrale elementer:

$$1\cdot A=A,0\cdot A=0$$

Disse reglene sikrer at skalarmultiplikasjon er konsistent med vanlige algebraiske operasjoner.

To matriser Multiplikasjon av to matriser utføres ved å ta skalarproduktet av radene i den første matrisen med kolonnene i den andre matrisen. For at to matriser skal kunne multipliseres, må antall kolonner i den første matrisen være lik antall rader i den andre matrisen.

Gitt to matriser $A$ og $B$, der $A$ har dimensjon $m\times n$ og $B$ har dimensjon $n\times p$, kan produktet $C=A\cdot B$ defineres som en matrise med dimensjon $m\times p$, der elementene $c_{ij}$ beregnes som:

$$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$$

Dette betyr at elementet i rad $i$, kolonne $j$ i produktmatrisen er summen av produktet av elementene i rad $i$ i $A$ og kolonne $j$ i $B$.

Eksempel 4:

La oss multiplisere en $2\times 3$-matrise med en $3\times 2$-matrise:

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}7& 8\\ 9& 10\\ 11& 12\end{array}\right]$$

Da beregner vi produktet $C=A\cdot B$:

$$C=\left[\begin{array}{cc}(1\cdot 7+2\cdot 9+3\cdot 11)& (1\cdot 8+2\cdot 10+3\cdot 12)\\ (4\cdot 7+5\cdot 9+6\cdot 11)& (4\cdot 8+5\cdot 10+6\cdot 12)\end{array}\right]$$

$$=\left[\begin{array}{cc}(7+18+33)& (8+20+36)\\ (28+45+66)& (32+50+72)\end{array}\right]$$

$$=\left[\begin{array}{cc}58& 64\\ 139& 154\end{array}\right]$$

Dermed er produktet:

$$C=\left[\begin{array}{cc}58& 64\\ 139& 154\end{array}\right]$$

• Matrisemultiplikasjon er generelt ikke kommutativ, dvs. $A\cdot B\ne B\cdot A$ i de fleste tilfeller.
• Den assosiative loven gjelder:

$$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$$

• Den distributive loven gjelder:

$$A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$$

• Multiplikasjon med identitetsmatrisen $I$ gir $A\cdot I=I\cdot A=A$.

Radoperasjoner

Bytte to rader $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right]$

Multiplisere en rad med en skalar (f.eks. 2) $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 6& 8\end{array}\right]$

Legge til et multiplum av en rad til en annen rad (f.eks. legge til 2 ganger rad 1 til rad 2) $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3+2\cdot 1& 4+2\cdot 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 8\end{array}\right]$

Identitetsmatrisen

En identitetsmatrise er en kvadratisk matrise der alle elementer på hoveddiagonalen er 1, og alle andre elementer er 0. Den betegnes ofte som $I$.

Eksempel på en $3\times 3$ identitetsmatrise:

$I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

• • Egenskaper:**

1. Når en hvilken som helst matrise $A$ multipliseres med identitetsmatrisen, forblir den uendret: $AI=IA=A$. 2. Identitetsmatrisen fungerer som nøytralt element i matriseproduktet.

Invers av en Matrise

Å invertere en matrise betyr å finne en annen matrise som, når den multipliseres med den opprinnelige matrisen, gir identitetsmatrisen:

$A^{-1}A=I$

En matrise har en invers hvis og bare hvis dens determinant er ulik null.

For en $2\times 2$ matrise $A$ gitt ved:

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

kan vi finne inversen ved:

$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

hvor $det(A)=ad-bc$ må være ulik null.

• • Eksempel:**

For matrisen

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$

blir determinanten:

$det(A)=(1\cdot 4-2\cdot 3)=-2$

og inversen er:

$A^{-1}=\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1.5& -0.5\end{array}\right]$

• • Hvorfor invertere en matrise?**

1. **Løse lineære ligningssystemer:** Hvis $Ax=b$, kan vi finne løsningen ved å multiplisere med $A^{-1}$:

$x=A^{-1}b$

2. **Transformasjoner:** Inversen brukes til å reversere lineære transformasjoner, for eksempel i datagrafikk og robotikk.

3. **Økonomi og statistikk:** Brukes i regresjonsanalyse og andre statistiske beregninger.

Løsning av et lineært likningssett med matriser

Vi tar utgangspunkt i følgende system av fire lineære likninger med fire ukjente:

$\{\begin{array}{l}x+2y-z+w=3\\ 2x-y+3z-w=1\\ 3x+y-2z+2w=4\\ x-3y+2z+w=2\end{array}$

Dette systemet kan skrives på matriseform som $AX=B$, hvor

$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 2& -1& 3& -1\\ 3& 1& -2& 2\\ 1& -3& 2& 1\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 4\\ 2\end{array}\right]$

Vi løser systemet ved hjelp av Gauss-jordaneliminasjon, der vi utfører radoperasjoner for å omforme den utvidede matrisen $[A|B]$ til redusert trappeform.

Steg 1: Initial utvidet matrise $\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& -1& 1& 3\\ 2& -1& 3& -1& 1\\ 3& 1& -2& 2& 4\\ 1& -3& 2& 1& 2\end{array}\right]$

Steg 2: Gjør første element i første kolonne til 1

Første pivot er allerede 1, så vi fortsetter.

Steg 3: Null ut elementer under første pivot

Trekk 2 ganger første rad fra andre rad: $R_2\leftarrow R_2-2R_1$

Trekk 3 ganger første rad fra tredje rad: $R_3\leftarrow R_3-3R_1$

Trekk første rad fra fjerde rad: $R_4\leftarrow R_4-R_1$

Gir: $\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& -1& 1& 3\\ 0& -5& 5& -3& -5\\ 0& -5& 1& -1& -5\\ 0& -5& 3& 0& -1\end{array}\right]$

Steg 4: Gjør andre pivot til 1

Divider andre rad på -5: $R_2\leftarrow \frac{1}{-5}{R}_2$

Gir: $\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& -1& 1& 3\\ 0& 1& -1& \frac{3}{5}& 1\\ 0& -5& 1& -1& -5\\ 0& -5& 3& 0& -1\end{array}\right]$

Steg 5: Null ut elementer under og over andre pivot

Legg til 5 ganger andre rad i tredje og fjerde rad: $R_3\leftarrow R_3+5R_2,R_4\leftarrow R_4+5R_2$

Trekk 2 ganger andre rad fra første rad: $R_1\leftarrow R_1-2R_2$

Resultat: $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& \frac{1}{5}& 1\\ 0& 1& -1& \frac{3}{5}& 1\\ 0& 0& -4& 2& 0\\ 0& 0& 8& 3& 4\end{array}\right]$

Steg 6: Gjør tredje pivot til 1

Divider tredje rad på -4: $R_3\leftarrow \frac{1}{-4}{R}_3$

Gir: $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& \frac{1}{5}& 1\\ 0& 1& -1& \frac{3}{5}& 1\\ 0& 0& 1& -\frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 8& 3& 4\end{array}\right]$

Steg 7: Null ut elementer over og under tredje pivot

Trekk 8 ganger tredje rad fra fjerde rad: $R_4\leftarrow R_4-8R_3$

Legg til tredje rad i første rad og andre rad: $R_1\leftarrow R_1-R_3,R_2\leftarrow R_2+R_3$

Gir: $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \frac{3}{10}& 1\\ 0& 1& 0& \frac{1}{10}& 1\\ 0& 0& 1& -\frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 0& 7& 4\end{array}\right]$

Steg 8: Gjør siste pivot til 1

Divider fjerde rad på 7: $R_4\leftarrow \frac{1}{7}{R}_4$

Til slutt nuller vi elementer over siste pivot for å få en enhetsmatrise til venstre. Dette gir løsningen:

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.7\\ 0.9\\ 0.3\\ 0.57\end{array}\right]$

Når har et system ingen eller uendelig mange løsninger?

- **Ingen løsning**: Hvis en rad i den utvidede matrisen har formen $[0000c]$ der $c\ne 0$, er systemet inkonsistent. - **Uendelig mange løsninger**: Hvis en rad har formen $[00000]$, har systemet en fri variabel, og det finnes uendelig mange løsninger.

Denne metoden kan generaliseres til vilkårlige lineære systemer.

Determinanter

Determinanten til en $2\times 2$ matrise er gitt ved:

$det(A)=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$

For eksempel, for matrisen

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$

blir determinanten:

$det(A)=(1\cdot 4-2\cdot 3)=-2$

Bruksområder for Determinanter:

• Løse lineære ligningssystemer: Determinanter brukes til å avgjøre om et system har en entydig løsning. Hvis determinanten til koeffisientmatrisen er null, er systemet enten inkonsistent eller har uendelig mange løsninger.

• Finne inversen av en matrise: En matrise er inverterbar hvis og bare hvis dens determinant er ulik null.

• Geometrisk tolkning: Determinanten av en $2\times 2$ eller $3\times 3$ matrise kan tolkes som arealet eller volumet av en parallellogram eller parallellpiped dannet av vektorene i matrisen.

• Transformasjoner og endringer i volum: I datagrafikk og fysikk brukes determinanter til å forstå hvordan transformasjoner påvirker geometriske objekter.

• • Konkret eksempel:**

Anta at vi har en transformasjonsmatrise som skalerer områder i planet:

$T=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right]$

Da er determinanten:

$det(T)=(3\cdot 4-1\cdot 2)=10$

Dette betyr at en figur i planet som transformeres av $T$ vil få sitt areal skalert med en faktor på 10.

• • Hvorfor er dette viktig?**

- **I fysikk**: Determinanter brukes for å beregne volumendringer under deformasjoner i elastisitetsteori. - **I maskinlæring**: Determinanter brukes til å vurdere om en matrise har en unik løsning i systemer av ligninger, noe som er viktig for å trene modeller. - **I datagrafikk**: Determinanter brukes til å forstå hvordan en transformasjon påvirker bildet eller modellen.

• • Determinanter og Vektorprodukt:**

Vektorproduktet (kryssproduktet) av to vektorer i ${\mathbb{R}}^3$ er definert ved hjelp av determinanter:

$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|$

Dette utvides til:

$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{a}_2{b}_3-a_3{b}_2\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right]$

• • Geometrisk tolkning:** Kryssproduktet av to vektorer gir en tredje vektor som står vinkelrett på de to opprinnelige vektorene. Lengden av kryssproduktet tilsvarer arealet av parallellogrammet spent ut av de to vektorene.

• • Eksempel:**

La $\mathbf{a}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$ og $\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right]$, da er

$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}(2\cdot 6-3\cdot 5)\\ (3\cdot 4-1\cdot 6)\\ (1\cdot 5-2\cdot 4)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -3\end{array}\right]$

Dette betyr at vektoren $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ er vinkelrett på både $\mathbf{a}$ og $\mathbf{b}$, noe som er viktig i fysikk (f.eks. moment og elektromagnetisme) og datagrafikk.

Egenverdier og Egenvektorer

Egenverdier for en matrise $A$ finnes ved å løse ligningen:

$det(A-\lambda I)=0$

For matrisen

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$

får vi karakteristisk ligning:

$\left|\begin{array}{cc}2-\lambda & 1\\ 1& 2-\lambda \end{array}\right|=(2-\lambda )(2-\lambda )-1\cdot 1={\lambda }^2-4\lambda +3=0$

Løser vi for $\lambda$, får vi egenverdiene ${\lambda }_1=3$ og ${\lambda }_2=1$.

Egenvektorer finnes ved å løse $(A-\lambda I)\mathbf{v}=0$ for hver egenverdi.

Egenverdier og Egenvektorer

En egenverdi $\lambda$ og en egenvektor $\mathbf{v}$ til en matrise $A$ er definert ved ligningen:

$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$

Dette betyr at når matrisen $A$ multipliseres med egenvektoren $\mathbf{v}$, får vi tilbake en skalert versjon av $\mathbf{v}$, der $\lambda$ er skalaren.

• • Hvorfor er egenverdier og egenvektorer viktige?**

1. **Dynamiske systemer:** Egenverdier brukes til å analysere stabilitet og oppførsel til systemer over tid, for eksempel i fysikk og økonomi. 2. **Databehandling:** PCA (hovedkomponentanalyse) i maskinlæring bruker egenverdier for å redusere dimensjonalitet. 3. **Differensiallikninger:** Brukes til å finne løsninger av lineære differensiallikninger. 4. **Grafteori:** I nettverksanalyse brukes egenverdier til å forstå strukturer og forbindelser.

• • Eksempel:**

Gitt matrisen

$A=\left[\begin{array}{cc}4& -2\\ 1& 1\end{array}\right]$

Finn egenverdiene ved å løse determinantlikningen

$det(A-\lambda I)=0$

$\left|\begin{array}{cc}4-\lambda & -2\\ 1& 1-\lambda \end{array}\right|=(4-\lambda )(1-\lambda )-(-2)(1)={\lambda }^2-5\lambda +6=0$

Løsningene gir egenverdier ${\lambda }_1=3$ og ${\lambda }_2=2$.

Tilhørende egenvektorer finnes ved å løse $(A-\lambda I)\mathbf{v}=0$.

Konklusjon

Lineær algebra er et kraftig verktøy som brukes i mange fagfelt. Vektorer, matriser og lineære ligninger er fundamentale konsepter som gir grunnlaget for mer avansert matematikk og anvendelser.