Eulers identitet

Tallet som forener e, i og $\pi$

Tallet som forener de tre fundamentale matematiske konstantene e, i og $\pi$ er Euler's identitet:

\[ e^{i\pi} + 1 = 0 /]

Dette regnes ofte som en av de vakreste ligningene i matematikk, fordi den elegant kobler sammen fem av de viktigste tallene i matematikk:

• e (Eulers tall, ca. 2,718) – grunnlaget for naturlige logaritmer og eksponentiell vekst.
• i (den imaginære enheten, definert som $i^2=-1$) – grunnleggende i kompleks analyse.
• $\pi$ (pi, ca. 3,14159) – forholder seg til sirkler og trigonometri.
• 1 – den multiplikative identiteten.
• 0 – den additive identiteten.

Euler oppdaget denne sammenhengen ved å studere komplekse eksponentialfunksjoner, spesielt formelen:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Setter vi $x=\pi$, får vi:

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi =-1+0i=-1$

Legger vi til 1, får vi Euler’s identitet. Denne forbindelsen mellom eksponentialfunksjoner, trigonometriske funksjoner og komplekse tall er helt sentral i matematikk og fysikk.

Regneeksempler på bruk

Beregning av komplekse eksponentielle uttrykk

Ved hjelp av Euler’s formel:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

kan vi regne ut eksponentielle uttrykk med komplekse eksponenter.

Eksempel: Beregn $e^{i\pi /4}$.

Bruk Euler’s formel med $x=\frac{\pi }{4}$:

$e^{i\pi /4}=\cos (\pi /4)+i\sin (\pi /4)$

Siden $\cos (\pi /4)=\sin (\pi /4)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, får vi:

$e^{i\pi /4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}$

Regning med komplekse tall i polarkoordinater

Komplekse tall kan skrives på formen $z=r{e}^{i\theta }$, der r er absoluttverdien og θ er argumentet.

Eksempel: Multipliser de komplekse tallene $z_1=2e^{i\pi /3}$ og $z_2=3e^{i\pi /6}$.

Bruk regelen for multiplikasjon av komplekse tall i eksponentiell form:

$z_1\cdot z_2=(2e^{i\pi /3})\cdot (3e^{i\pi /6})$

$=2\cdot 3\cdot e^{i(\pi /3+\pi /6)}$

$=6e^{i\pi /2}$

Fra Euler’s formel vet vi at $e^{i\pi /2}=i$, så:

$6e^{i\pi /2}=6i$

Bevis for trigonometriske identiteter

Euler’s formel kan brukes til å bevise trigonometriske identiteter.

Eksempel: Bevis at $\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$.

Fra Euler’s formel:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,e^{-ix}=\cos x-i\sin x$

Legger vi sammen disse to uttrykkene:

$e^{ix}+e^{-ix}=(\cos x+i\sin x)+(\cos x-i\sin x)$

$=2\cos x$

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

Dette er en kjent identitet i matematikk.

Løsning av differensialligninger

Euler's formel brukes ofte til å løse differensialligninger i fysikk og ingeniørfag.

Eksempel: Løs ligningen <math>y + y = 0</math>.

Den karakteristiske ligningen er:

$r^2+1=0\Rightarrow r=\pm i$

Den generelle løsningen er derfor:

$y(t)=C_1{e}^{it}+C_2{e}^{-it}$

Ved å bruke Euler’s formel kan dette skrives som:

$y(t)=C_1(\cos t+i\sin t)+C_2(\cos t-i\sin t)$

Siden $C_1$ og $C_2$ kan justeres, får vi den vanlige løsningen:

$y(t)=A\cos t+B\sin t$

som er en kjent løsning for harmoniske svingninger.

Konklusjon

Euler's formel og identitet har bred anvendelse i komplekse tall, trigonometri, fysikk og ingeniørvitenskap!