Komplekse tall: Forskjell mellom sideversjoner
Ingen redigeringsforklaring |
|||
Linje 117: | Linje 117: | ||
=== Konjugering og modulus === | === Konjugering og modulus === | ||
Komplekse konjugatet av | Komplekse konjugatet av $z = a + bi$ er: | ||
\[ | |||
\overline{z} = a - bi | |||
\] | |||
Modulus av | Modulus av | ||
\[ | |||
|z| = \sqrt{a^2 + b^2} | |z| = \sqrt{a^2 + b^2} | ||
\] | |||
Eksempel: | Eksempel: | ||
<math> | <math> |
Sideversjonen fra 1. apr. 2025 kl. 05:46
Z =a + ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten.
Kvadratroten av -1 = i. Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor denne tallmengden.
a kalles for realdelen og skrives ofte a = Re(Z), b kalles for imaginærdelen og skrives ofte b = Im(Z).
Mengden av alle komplekse tall kalles for C. De reelle tallene er inkludert i C.
For å visualisere de komplekse tallene kan vi bruke XY planet. Vi setter a =X og b = Y. Det komplekse planet C ser da slik ut:
REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TALL
Potenser av
Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere
Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som
Z + W = (a + c) + i(b + d).
Vi kan oppfatte de komplekse tallene som vektorer i det komplekse plan. Regneoperasjonen over kan da fremstilles slik;
Lengden av linjestykket
Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi
Z - W = (a - c) + i(b - d)
Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden
Fra figuren over ser vi at Z kan utrykkes som lengden av OZ og θ. Dersom vi kaller absoluttverdien av Z for r får vi :
Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π >
punktet
en viktig egenskap er:
Multiplikasjon.
Multiplikasjon utføres på vanlig måte:
Divisjon.
Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren:
Introduksjon til komplekse tall
Hva er komplekse tall?
Komplekse tall er en utvidelse av de reelle tallene og skrives på formen:
$z = a + bi$
Der:
er den reelle delen. er den imaginære delen. er den imaginære enheten, definert ved .
Den imaginære enheten
Siden
Dette mønsteret gjentar seg syklisk.
Regning med komplekse tall
Addisjon og subtraksjon
To komplekse tall
z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i
</math> Eksempel: <math>
(3 + 2i) + (1 - 4i) = 4 - 2i
</math>
Subtraksjon: <math>
z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i
</math> Eksempel: <math>
(5 + 3i) - (2 + i) = 3 + 2i
</math>
Multiplikasjon
Bruk distribusjonsloven:
Siden
Eksempel:
Konjugering og modulus
Komplekse konjugatet av
Modulus av
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\] Eksempel: <math>
|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5
</math>
Divisjon
For å dele
�rac{z_1}{z_2} = �rac{(a + bi)}{(c + di)} imes �rac{(c - di)}{(c - di)}
</math> Eksempel: <math>
�rac{3 + 2i}{1 - i} = �rac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = �rac{1 + 5i}{2} = �rac{1}{2} + �rac{5}{2}i
</math>
Geometrisk tolkning
Komplekse tall kan representeres som punkter i et koordinatsystem:
- Reell del langs
-aksen. - Imaginær del langs
-aksen.
Polarform
Ethvert komplekst tall kan skrives som: <math>
z = r(\cos heta + i \sin heta)
</math> Der: <math>
r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad heta = an^{-1} \left( �rac{b}{a} \right)
</math>
Eksempel: <math>
z = 1 + i \Rightarrow r = \sqrt{2}, \quad heta = �rac{\pi}{4}
</math>
Eulers formel og eksponentiell representasjon
Eulers formel:
Polarformen kan derfor skrives som:
De Moivres teorem og røtter
De Moivres teorem:
Generell formel for
Eksempel: Kvadratroten av
Oppgaver med komplekse tall
Oppgave 1: Addisjon
Regn ut
Løsning:
Oppgave 2: Subtraksjon
Regn ut
Løsning:
Oppgave 3: Multiplikasjon
Regn ut
Løsning:
Oppgave 4: Divisjon
Regn ut
Løsning:
Multipliser teller og nevner med den konjugerte av nevneren:
Oppgave 5: Potenser
Regn ut
Løsning:
Bruk binomialteoremet eller direkte utregning:
Oppgave 6: Kvadratrot
Regn ut
Løsning:
Oppgave 7: Eulers form
Skriv
Løsning: \[
r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
Oppgave 8: Eksponentiell form
Regn ut
Løsning: Ved Eulers formel: \[
e^{i\pi/2} = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) = i
\]
Oppgave 9: Kubikkrot
Finn en kubikkrot av
Løsning:
Vi løser
8 = 8e^{i0}, \text{ kubikkrot gir } 2e^{i0/3} = 2
\]
Oppgave 10: De Moivres teorem
Regn ut
Løsning: Bruk De Moivres teorem: \[
(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})^5 = \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}
\] \[
= \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})
\] \[
= \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}
\]