Komplekse tall: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Ingen redigeringsforklaring
Linje 117: Linje 117:


=== Konjugering og modulus ===
=== Konjugering og modulus ===
Komplekse konjugatet av <math>z = a + bi</math> er:
Komplekse konjugatet av $z = a + bi$ er:
<math>
\[
\overline{z} = a - bi
\overline{z} = a - bi
</math>
\]


Modulus av z er:
Modulus av z er:
<math>
\[
  |z| = \sqrt{a^2 + b^2}
  |z| = \sqrt{a^2 + b^2}
</math>
\]
Eksempel:
Eksempel:
<math>
<math>

Sideversjonen fra 1. apr. 2025 kl. 05:46

Z =a + ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten. i2 er størrelsen som tilfredstiller i2=1.

Kvadratroten av -1 = i. Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor denne tallmengden.

a kalles for realdelen og skrives ofte a = Re(Z), b kalles for imaginærdelen og skrives ofte b = Im(Z).

Mengden av alle komplekse tall kalles for C. De reelle tallene er inkludert i C.

For å visualisere de komplekse tallene kan vi bruke XY planet. Vi setter a =X og b = Y. Det komplekse planet C ser da slik ut:


REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TALL

Potenser av in kan alltid reduseres til pluss/minus 1 eller pluss/minus i. Eksempelvis er i3=i2i=1i=i

Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere Z1=1+2iogZ2=2+2i blir resultatet Z3=3+4i

Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som

Z + W = (a + c) + i(b + d).

Vi kan oppfatte de komplekse tallene som vektorer i det komplekse plan. Regneoperasjonen over kan da fremstilles slik;

Lengden av linjestykket OZn kan vi finne ved å bruke Pytagoras. Lengden er gitt ved |Zn|=a2+b2. |Zn| kalles absoluttverdien eller modulen av det komplekse tallet Zn

Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi

Z - W = (a - c) + i(b - d)

Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden OZn og vinkelen mellom X aksen og linjestykket OZn.

Fra figuren over ser vi at Z kan utrykkes som lengden av OZ og θ. Dersom vi kaller absoluttverdien av Z for r får vi :

Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π >

punktet Z=abi kalles det konjugerte komplekse tallet til Z.

en viktig egenskap er:

ZZ=a2+b2=|Z|2

Multiplikasjon.

Multiplikasjon utføres på vanlig måte:

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(acbd)+(ad+bc)i

Divisjon.

Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren:

a+bic+di=(a+bi)(cdi)(c+di)(cdi)=acadi+bcibdi2c2cdi+cdid2i2=ac+bd(adbc)ic2+d2


Introduksjon til komplekse tall

Hva er komplekse tall?

Komplekse tall er en utvidelse av de reelle tallene og skrives på formen:

$z = a + bi$

Der:

  • a er den reelle delen.
  • b er den imaginære delen.
  • i er den imaginære enheten, definert ved i2=1.

Den imaginære enheten i

Siden i2=1, følger: i3=ii2=ii4=(i2)2=1

Dette mønsteret gjentar seg syklisk.

Regning med komplekse tall

Addisjon og subtraksjon

To komplekse tall z1=a+bi og z2=c+di adderes slik: <math>

z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i

</math> Eksempel: <math>

(3 + 2i) + (1 - 4i) = 4 - 2i

</math>

Subtraksjon: <math>

z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i

</math> Eksempel: <math>

(5 + 3i) - (2 + i) = 3 + 2i

</math>

Multiplikasjon

Bruk distribusjonsloven: (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2


Siden i2=1, får vi:

(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i


Eksempel:

(2+3i)(14i)=(2134)+(2(4)+31)i=105i

Konjugering og modulus

Komplekse konjugatet av z=a+bi er: z=abi

Modulus av z er: \[

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

\] Eksempel: <math>

|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5

</math>

Divisjon

For å dele z1 med z2, multipliserer vi med konjugatet av nevneren: <math>

�rac{z_1}{z_2} = �rac{(a + bi)}{(c + di)} 	imes �rac{(c - di)}{(c - di)}

</math> Eksempel: <math>

�rac{3 + 2i}{1 - i} = �rac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = �rac{1 + 5i}{2} = �rac{1}{2} + �rac{5}{2}i

</math>

Geometrisk tolkning

Komplekse tall kan representeres som punkter i et koordinatsystem:

  • Reell del langs x-aksen.
  • Imaginær del langs y-aksen.

Polarform

Ethvert komplekst tall kan skrives som: <math>

z = r(\cos 	heta + i \sin 	heta)

</math> Der: <math>

r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad 	heta = 	an^{-1} \left( �rac{b}{a} \right)

</math>

Eksempel: <math>

z = 1 + i \Rightarrow r = \sqrt{2}, \quad 	heta = �rac{\pi}{4}

</math>

Eulers formel og eksponentiell representasjon

Eulers formel: eiheta=cosheta+isinheta

Polarformen kan derfor skrives som: z=reiheta

De Moivres teorem og røtter

De Moivres teorem:

(cosheta+isinheta)n=cos(nheta)+isin(nheta)

Generell formel for n-te røtter:

zk=r1/nei(heta+2πk)/n,k=0,1,...,n1

Eksempel: Kvadratroten av i:

i=eiπ/4=±(rac22+irac22)

Oppgaver med komplekse tall

Oppgave 1: Addisjon

Regn ut (3+4i)+(52i)

Løsning: (3+4i)+(52i)=3+5+(4i2i)=8+2i

Oppgave 2: Subtraksjon

Regn ut (7+6i)(2+3i)

Løsning: (7+6i)(2+3i)=(72)+(6i3i)=5+3i

Oppgave 3: Multiplikasjon

Regn ut (2+3i)(4i)

Løsning: (2+3i)(4i)=24+2(i)+3i4+3i(i) =82i+12i3i2 =8+10i(3) =11+10i

Oppgave 4: Divisjon

Regn ut 5+2i3i

Løsning: Multipliser teller og nevner med den konjugerte av nevneren: (5+2i)(3+i)(3i)(3+i) Beregning: 53+5i+2i3+2ii=15+5i+6i+2i2 =15+11i2 =13+11i Nevner: (3i)(3+i)=9i2=9+1=10 Endelig svar: 13+11i10=1.3+1.1i

Oppgave 5: Potenser

Regn ut (1+i)4

Løsning: Bruk binomialteoremet eller direkte utregning: (1+i)2=1+2i+i2=1+2i1=2i (2i)2=4i2=4

Oppgave 6: Kvadratrot

Regn ut 9

Løsning: 9=91=3i

Oppgave 7: Eulers form

Skriv 1+i på polarform.

Løsning: \[

r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}

\] 1+i=2eiπ/4

Oppgave 8: Eksponentiell form

Regn ut eiπ/2

Løsning: Ved Eulers formel: \[

e^{i\pi/2} = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) = i

\]

Oppgave 9: Kubikkrot

Finn en kubikkrot av 8.

Løsning: Vi løser z3=8: \[

8 = 8e^{i0}, \text{ kubikkrot gir } 2e^{i0/3} = 2

\]

Oppgave 10: De Moivres teorem

Regn ut (cosπ3+isinπ3)5

Løsning: Bruk De Moivres teorem: \[

(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})^5 = \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}

\] \[

= \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})

\] \[

= \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}

\]