Komplekse tall: Forskjell mellom sideversjoner
Linje 311: | Linje 311: | ||
</math> | </math> | ||
== De Moivres teorem og røtter == | ==== De Moivres teorem og røtter ==== | ||
De Moivres teorem: | De Moivres teorem: | ||
Sideversjonen fra 9. apr. 2025 kl. 07:42
- a kalles for realdelen og skrives ofte a = Re(Z)
- b kalles for imaginærdelen og skrives ofte b = Im(Z)
Mengden av alle komplekse tall kalles for
Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor tallmengden
For å visualisere de komplekse tallene kan vi bruke XY planet. Vi setter a =X og b = Y. Det komplekse planet C ser da slik ut:

REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TALL
Addisjon
Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere
Generelt kan summen av det komplekse tallene
Vi kan oppfatte de komplekse tallene som vektorer i det komplekse plan. Regneoperasjonen over kan da fremstilles slik;
Subtraksjon
Generelt kan differansen av det komplekse tallene
Den imaginære enheten i som potens av forskjellig grad
Den imaginære enheten i er definert som:
Grunnleggende egenskaper
Periodisitet
Vi ser at etter fire potenser gjentar mønsteret seg:
Dermed kan vi generelt si at:
Generelt:
Eksempl:
: Siden , har vi . : Siden , har vi . : Siden , har vi .
Dette mønsteret kan brukes til raskt å finne verdien av
Multiplikasjon.
Multiplikasjon utføres på vanlig måte:
Fordi
Eksempel:
Regn ut
Løsning:
Komplekskonjugert
Den komplekskonjugerte til et komplekst tall er et annet komplekst tall som har samme reelle del, men den imaginære delen med motsatt fortegn. Det blir en speiling om den reelle aksen (x-aksen), og vi har symmetri om denne.
Gitt et komplekst tall:
- z = a + bi
hvor a og b er reelle tall og i er den imaginære enheten (i² = -1), så er den komplekskonjugerte:
- z̅ = a - bi

Notasjon
Den komplekskonjugerte skrives ofte som:
- ȳ (med en strek over symbolet)
- conj(z)
- z*
Eksempler
- z = 3 + 4i → z̅ = 3 - 4i
- z = -2 - 7i → z̅ = -2 + 7i
- z = 5 → z̅ = 5 (reelle tall er uendrede ved konjugering)
- z = 0 + 6i → z̅ = 0 - 6i = -6i
Bruksområder
- Divisjon med komplekse tall: Når man skal dividere komplekse tall, brukes den komplekskonjugerte for å "rense" nevneren.
- Eksempel: (1 + i)/(2 - 3i) → multipliser teller og nevner med den komplekskonjugerte av nevneren: (2 + 3i).
- Absoluttverdi/modul av et komplekst tall: |z|² = z * z̅
- Løsning av ligninger i kompleks analyse og elektriske kretser.
- Signalbehandling og Fourier-transformasjon: brukes til å analysere frekvenskomponenter og kompleksverdier i signaler.
Lengden av linjestykket
Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi
Z - W = (a - c) + i(b - d)
Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden
Fra figuren over ser vi at Z kan utrykkes som lengden av OZ og θ. Dersom vi kaller absoluttverdien av Z for r får vi :
Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π >
punktet
en viktig egenskap er:
Konjugering og modulus
Komplekse konjugatet av
Modulus av
Eksempel:
Divisjon
For å dele
.
Polarform
Ethvert komplekst tall kan skrives som:
Eksempel:
Eulers formel og eksponentiell representasjon
Eulers formel:
Polarformen kan derfor skrives som:
De Moivres teorem og røtter
De Moivres teorem:
De Moivres teorem er et viktig resultat i kompleks analyse som sier at for enhver kompleks tall
Alternativt kan dette skrives med eksponentiell notasjon ved hjelp av Eulers formel
Dette betyr at for et komplekst tall på polar form,
Bruksområder
Beregning av potenser av komplekse tall
Hvis du har et komplekst tall
opphøye modulus til
Røtter av komplekse tall
De Moivres teorem hjelper med å finne de
Dette viser at et komplekst tall har
- **Eksempel**
La oss si vi ønsker å beregne
Ved å bruke De Moivres teorem:
De Moivres teorem gir en elegant metode for å beregne potenser og røtter av komplekse tall, noe som er spesielt nyttig i ingeniørfag, fysikk og signalbehandling.
Generell formel for
Eksempel: Kvadratroten av
Oppgaver
Eksempel 1:
Regn ut
Løsning:
Eksempel Subtraksjon
Regn ut
Løsning:
Oppgave 4: Divisjon
Regn ut
Løsning:
Multipliser teller og nevner med den konjugerte av nevneren:
Oppgave 5: Potenser
Regn ut
Løsning:
Bruk binomialteoremet eller direkte utregning:
Oppgave 6: Kvadratrot
Regn ut
Løsning:
Oppgave 7: Eulers form
Skriv
Løsning:
Oppgave 8: Eksponentiell form
Regn ut
Løsning:
Ved Eulers formel:
Oppgave 9: Kubikkrot
Finn en kubikkrot av
Løsning:
Vi løser
Oppgave 10: De Moivres teorem
Regn ut
Løsning:
Bruk De Moivres teorem:
Flere-dimensjonale tall: En reise utover kompleksitet
Fra én til to dimensjoner: Reelle og komplekse tall
Vi starter med det kjente: reelle tall, som er tallene vi bruker hver dag – 2, -5, 0.75, π. Disse tallene kan representeres som punkter på en rett linje: én dimensjon.
Så kom de komplekse tallene, introdusert som en løsning på problemet med kvadratroten av negative tall. Et komplekst tall består av en reell del og en imaginær del:
hvor
Tre og fire dimensjoner: Kvaternioner og oktonioner
I 1843 utvidet William Rowan Hamilton de komplekse tallene til kvaternioner, som introduserer tre uavhengige imaginære enheter:
Disse tallene lever i fire dimensjoner og er ikke-kommutative – altså at rekkefølgen på multiplikasjon har betydning (
Senere kom oktonioner, som lever i åtte dimensjoner. De er enda mer eksotiske: de er ikke-assosiative, noe som betyr at selv gruppering av faktorer i multiplikasjon spiller en rolle (
Sedenioner og utover: Tap av struktur
Neste trinn etter oktonionene er sedenioner, som lever i 16 dimensjoner. Her begynner mye av den "hyggelige" algebraen å bryte sammen: sedenioner har null-delere, er ikke-assosiative, og mister nesten all struktur som gjør tallene nyttige i klassisk analyse.
Man kan teknisk sett fortsette å bygge høyere-dimensjonale tallsystemer ved å bruke Cayley–Dickson-konstruksjonen, men for hver dobling taper man noe av algebraens struktur:
- 1D: Reelle tall (
) — ordnet, kommutativ, assosiativ. - 2D: Komplekse tall (
) — kommutativ, assosiativ. - 4D: Kvaternioner (
) — assosiativ. - 8D: Oktonioner (
) — alternative. - 16D: Sedenioner — ikke engang alternative.
Hva med odde dimensjoner?
Interessant nok ser tallteoriene som bygger på Cayley–Dickson alltid ut til å doble dimensjonen: 1, 2, 4, 8, 16, ... Hva med tall i 3, 5 eller 7 dimensjoner?
Her kommer vi til en fundamental begrensning. Ifølge Hurwitz' teorem er det kun fire normerte divisjonsalgebraer over de reelle tallene:
Odde dimensjoner kan brukes til å representere tall eller objekter i visse spesielle sammenhenger (som Clifford-algebraer), men de mister da ofte enten:
- Egenskapen av å være en algebra i klassisk forstand.
- Egenskapen av å kunne multiplisere som tall.
Eksempler:
- Clifford-algebraer kan bygges i 3 eller 5 dimensjoner, men inneholder både skalare, vektorer, bivektorer og mer – og oppfører seg mer som geometri enn som tall.
- Lie-algebraer finnes i vilkårlig dimensjon, men handler mer om symmetrier og kontinuerlige transformasjoner enn om "tall" i klassisk forstand.
Høyere-dimensjonale tall i fysikken og datavitenskap
Flere-dimensjonale tallsystemer spiller en rolle i moderne fysikk:
- Kvaternioner brukes i 3D-rotasjoner, datagrafikk og kvantemekanikk.
- Oktonioner dukker opp i visse formuleringer av strengteori, spesielt i dimensjon 10 og 11.
- Clifford-algebraer brukes i generell relativitet og kvantefeltteori, som rammeverk for Dirac-matriser.
Innen maskinlæring og datavitenskap begynner også høyere-dimensjonale representasjoner (f.eks. hyperkomplekse nettverk) å få fotfeste, der data representeres som kvaternion- eller oktonion-verdier for å gi mer kompakte og symmetriske modeller.
Hva er egentlig et tall?
Når vi beveger oss ut i 8, 16 eller 32 dimensjoner og begynner å tape de algebraiske strukturene, kan man spørre: Når slutter et tall å være et tall?
Tall begynte som mengdetelling. De ble utvidet med negative, reelle og imaginære komponenter for å dekke matematiske behov. Men i høyere dimensjoner blir tall mer som strukturer, geometrier eller til og med metaforer for noe mer abstrakt: symmetri, bevegelse, eller relasjoner mellom objekter.
Avslutning
Tall i høyere dimensjoner er både en utvidelse av vår forståelse og en utfordring for den. De lærer oss at det vi tar for gitt – som at multiplikasjon er kommutativ eller at tall kan sorteres – ikke er universelle sannheter.
I høyere dimensjoner må vi lære å leve med tvetydighet, kompleksitet og tap av struktur – men også åpne øynene for nye mønstre og dybder i matematikkens uendelige landskap.