Derivasjon av polynomfunksjoner

Nå som vi har sett hva den deriverte er og betyr, er det på tide å anvende denne kunnskapen. Vi skal her ta for oss Polynom. For å derivere et polynom kan det lønne seg å bryte problemet ned i mindre biter og først se på hva som skjer dersom vi prøver å derivere et ledd av et polynom. La oss for eksempel se på <tex>g(x)=x^n</tex>, hvor a er et vilkårlig reellt tall og n et positivt heltall. For å finne ut hva den deriverte av <tex>g(x)</tex> er bruker vi definisjonen av den deriverte:

<tex>g'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{g(x+ \Delta x)- g(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(x+ \Delta x)^n- x^n}{\Delta x}</tex>

Her kommer vi ikke så mye lenger, med mindre vi bruker et smart triks. Vi legger merke til følgende mønster:

<tex>a-b=a-b</tex>

<tex>a^2-b^2=(a-b)(a+b)</tex>

<tex>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</tex>

<tex>a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)</tex>

Og mer generelt har vi:

<tex>a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b +\cdots+ab^{n-2} +b^{n-1})</tex>

Dersom en ganger ut parantesene vil en se at dette stemmer, og det kan være en god øvelse å sjekke dette selv. Hvis vi nå går tilbake til uttrykket vårt for den deriverte, ser vi at vi kan bruke hva vi nettopp fant til å faktorisere telleren vår. Vi får da at:

<tex>g'(x)= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(x+ \Delta x)^n- x^n}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(x+ \Delta x - x)((x+ \Delta x)^{n-1}+(x+ \Delta x)^{n-2}x + \cdots (x+ \Delta x)x^{n-2} + x^{n-1})}{\Delta x}</tex>

Vi legger merke til at <tex>(x+\Delta x -x)= \Delta x</tex>, og ser at vi da kan forkorte med <tex>\Delta x</tex> i teller og nevner som gir oss:

<tex>g'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}((x+ \Delta x)^{n-1}+(x+ \Delta x)^{n-2}x + \cdots (x+ \Delta x)x^{n-2} + x^{n-1}) </tex>

Vi lar så <tex>\Delta x</tex> gå mot 0 og vi får da:

<tex>g'(x)=(x+0)^{n-1}+(x+0)^{n-2}x + \cdots (x+0)x^{n-2} + x^{n-1} = x^{n-1} + x \cdot x^{n-2} + \cdots + x \cdot x^{n-2} + x^{n-1} </tex>

Vi legger nå merke til at vi har n ledd, hvor alle ledd er <tex>x^{n-1}</tex>. Vi sitter da igjen med <tex>x^{n-1}</tex> n ganger, eller <tex>nx^{n-1}</tex>. Vi har derfor vist at den deriverte til <tex>g(x)=x^n</tex> er <tex>g'(x)=nx^{n-1}</tex>. Siden vi nå har kommet frem til denne regelen vil det bli mye enklere neste gang vi har et uttrykk av denne typen. Vi trenger altså ikke lenger bruke grenseverdier eller definisjonen av den deriverte. For eksempel kan vi se på <tex>f(x)=x^2</tex>. Ifølge hva vi kom frem er da <tex>f'(x)=2x^{2-1}=2x</tex>.

---

Oppgaver:

Deriver funksjonene:

<tex>f(x)=x^3</tex>
<tex>g(x)=x^6</tex>
<tex>h(x)=x</tex>
<tex>m(x)=x^{-2}</tex>

---

Vi har nå nesten nok verktøy til å kunne derivere polynom. Først må vi vite hva vi skal gjøre dersom vi deriverer en sum av to ukjente (for eksempel: <tex>x^2+x</tex>) og hva vi skal gjøre dersom det vi deriverer er ganget med et tall (<tex>5x^2</tex>). Kanskje er det ikke spesielt overraskende at dersom vi må derivere en sum kan vi derivere hver av leddene, for så å legge sammen uttrykkene. Og at hvis vi må derivere en funksjon ganget med et tall kan vi derivere funksjonen, for så å gange uttrykket med tallet etterpå. Vi summerer dette slik:

<tex>(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)</tex>
<tex>(af(x))'=af'(x)</tex>

Det er verdt å notere seg at dette gjelder generelt for alle funksjoner, imens derivasjonsregelen vi fant for <tex>x^n</tex> kun gjelder for funksjonen av denne typen. En spesielt interessert student vil kunne se dette dersom en bruker definisjonen av den deriverte på uttrykkene <tex>f(x)+g(x)</tex> og <tex>af(x)</tex> og prøver å ordne opp i uttrykkene.

Vi er nå klare til å derivere et generelt polynom: <tex>f(x)=ax^n+bx^{n-1} + \cdots + cx + d</tex>. Vi deriverer ledd for ledd og bruker derivasjonsregelen vi har funnet. Dette gir oss: <tex>f'(x)=ax^{n-1}+bx^{n-2}+c</tex>, siden den deriverte av en konstant alltid er 0. Eksempelvis kan vi se på funksjonen <tex>h(x)=x^2+4x-2</tex>. Den deriverte blir da:

<tex>h'(x)=2x+4</tex>

---

Oppgaver:

Deriver funksjonene:

<tex>f(x)=3x^2+5x-4</tex>
<tex>g(x)=4x^6+\frac{5}{2}x^2</tex>
<tex>h(x)=x^{-2}-x^5-4x</tex>

---

Løsninger til oppgavene finner du her.